人教A版必修第一册第5章 56 561 匀速圆周运动的数学模型 562 函数yAsinωx+φ的图象.docx

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人教A版必修第一册第5章56561匀速圆周运动的数学模型562函数yAsinωx+φ的图象

5.6　函数y＝Asin（ωx＋φ）

5.6.1　匀速圆周运动的数学模型

5.6.2　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象

学习目标

核心素养

1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响；能够将y＝sinx的图象进行变换得到y＝Asin（ωx＋φ），x∈R的图象．（难点）

2.能根据y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象，确定其解析式．（重点）

3.求函数解析式时φ值的确定．（易错点）

1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养.

2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养.

1．φ对y＝sin（x＋φ），x∈R的图象的影响

2．ω（ω＞0）对y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响

3．A（A＞0）对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响

1．把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为（　　）

A．y＝sinx－　　B．y＝sinx＋

C．y＝sinD．y＝sin

D　[根据图象变换的方法，y＝sinx的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin的图象．]

2．为了得到函数y＝4sin，x∈R的图象，只需将函数y＝4sin，x∈R的图象上的所有点（　　）

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变

A　[函数y＝4sin的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝4sin的图象．]

3．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋1（A＞0，ω＞0）的最大值为5，则A＝________.

4　[由已知得A＋1＝5，故A＝4.]

三角函数图象之间的变换

【例1】　

（1）将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．

（2）将y＝sinx的图象怎样变换可得到函数y＝2sin2x＋＋1的图象？

[思路点拨]　

（1）依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．

（2）法一：

y＝sinx→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．

法二：

左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．

（1）y＝－cos2x－3　[y＝cos的图象向左平移个单位长度，

得y＝cos＝cos（2x＋π）＝－cos2x，

再向下平移3个单位长度得y＝－cos2x－3的图象．]

（2）[解]　法一：

（先伸缩法）①把y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sinx的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y＝2sin2的图象；

④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，

得y＝2sin＋1的图象．

法二：

（先平移法）①将y＝sinx的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin＋1的图象．

由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象，其变化途径有两条：

（1）y＝sinxy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）

y＝Asin（ωx＋φ）．

（2）y＝sinxy＝sinωxy＝sin＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）．

提醒：

两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：

（1）是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．

（2）是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．

1．

（1）要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin2x的图象（　　）

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向右平移个单位

（2）把函数y＝f（x）的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，则f（x）的解析式是（　　）

A．f（x）＝3cosxB．f（x）＝3sinx

C．f（x）＝3cosx＋3D．f（x）＝sin3x

（1）A　

（2）A　[

（1）因为y＝cos

＝sin＝sin

＝sin2，

所以将y＝sin2x的图象向左平移个单位，

得到y＝cos的图象．

（2）y＝2siny＝3sin

y＝3sin

y＝3sin

＝3sin

＝3cosx．]

已知函数图象求解析式

【例2】　

（1）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）＋B的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）

A．y＝2cos＋4B．y＝2cos＋4

C．y＝4cos＋2D．y＝4cos＋2

（2）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图所示，求其解析式．

[思路点拨]　由最大（小）值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.

（1）A　[由函数f（x）的最大值和最小值得

A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，

函数f（x）的周期为×4＝4π，又ω＞0，

所以ω＝，又因为点在函数f（x）的图象上

所以6＝2cos＋4，所以cos＝1，

所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜

所以φ＝－，所以f（x）＝2cos＋4.]

（2）[解]　法一：

（五点作图原理法）由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又由点，根据五点作图原理（可判为“五点法”中的第一点）－×2＋φ＝0得φ＝，

所以f（x）＝3sin.

法二：

（方程法）由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，

又图象过点，

所以f＝3sin＝0，

所以sin＝0，－＋φ＝kπ（k∈Z），又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f（x）＝3sin.

法三：

（变换法）由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f（x）＝Asin（ωx＋φ）是由y＝3sin2x向左平移个单位而得到的，解析式为f（x）＝3sin＝3sin.

确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：

（1）代入法：

把图象上的一个已知点代入（此时A，ω已知）或代入图象与x轴的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）.

（2）五点法：

确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：

“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx＋φ＝0；,“第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝；,“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π；,“第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝；,“第五点”为ωx＋φ＝2π.

2．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f（x）的解析式．

[解]　由最低点M，得A＝2.

在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.

由点M在图象上得

2sin＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－（k∈Z），

∴φ＝2kπ－（k∈Z）．又φ∈，

∴φ＝.故f（x）＝2sin.

三角函数图象与性质的综合应用

[探究问题]

1．如何求函数y＝Asin（ωx＋φ）与y＝Acos（ωx＋φ）的对称轴方程？

提示：

与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin（ω＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．

函数y＝Asin（ωx＋φ）对称轴方程的求法：

令sin（ωx＋φ）＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z），则x＝（k∈Z），所以函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的对称轴方程为x＝（k∈Z）；

函数y＝Acos（ωx＋φ）对称轴方程的求法：

令cos（ωx＋φ）＝±1，得ωx＋φ＝kπ（k∈Z），则x＝（k∈Z），所以函数y＝Acos（ωx＋φ）的图象的对称轴方程为x＝（k∈Z）．

2．如何求函数y＝Asin（ωx＋φ）与y＝Acos（ωx＋φ）的对称中心？

提示：

与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．

函数y＝Asin（ωx＋φ）对称中心的求法：

令sin（ωx＋φ）＝0，得ωx＋φ＝kπ（k∈Z），则x＝（k∈Z），所以函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象关于点（k∈Z）成中心对称；

函数y＝Acos（ωx＋φ）对称中心的求法：

令cos（ωx＋φ）＝0，得ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z），则x＝（k∈Z），所以函数y＝Acos（ωx＋φ）的图象关于点（k∈Z）成中心对称．

【例3】　

（1）已知函数f（x）＝sin（ω＞0），若f＝f，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝（　　）

A.　　　　B.C.　　　　D.

（2）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0,0≤φ＜π）是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．

[思路点拨]　

（1）先由题目条件分析函数f（x）图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．

（2）先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.

（1）B　[因为f＝f，所以直线x＝＝是函数f（x）图象的一条对称轴，

又因为f（x）在区间上有最小值，无最大值，

所以当x＝时，f（x）取得最小值．

所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－，（k∈Z）

又因为T＝≥－＝，所以ω≤12，又因为ω＞0，

所以k＝1，即ω＝8－＝.]

（2）[解]　由f（x）是偶函数，得f（－x）＝f（x），即函数f（x）的图象关于y轴对称，

∴f（x）在x＝0时取得最值，即sinφ＝1或－1.

依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝.

由f（x）的图象关于点M对称，可知

sin＝0，即ω＋＝kπ，解得ω＝－，k∈Z.

又f（x）在上是单调函数，

所以T≥π，即≥π.

∴ω≤2，又ω＞0，

∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.

故φ＝，ω＝2或.

1．将本例

（2）中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求ω的最大值．

[解]　因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝sinφ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.

因为f（x）＝sinωx在上是增函数．

所以⊆，

于是，解得0＜ω≤，

所以ω的最大值为.

2．本例

（2）中增加条件“ω＞1”，求函数y＝f2（x）＋sin2x，x∈的最大值．

[解]　由条件知f（x）＝sin＝cos2x，

由x∈得2x∈，

sin2x∈

y＝f2（x）＋sin2x＝cos22x＋sin2x＝1－sin22x＋sin2x＝－（sin2x－）2＋

所以当sin2x＝时ymax＝.

1．正弦余弦型函数奇偶性的判断方法

正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）和余弦型函数y＝Acos（ωx＋φ）不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数，当φ＝kπ±（k∈Z）时为偶函数；对于函数y＝Acos（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为偶函数，当φ＝kπ±（k∈Z）时为奇函数．

2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧

（1）结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．

（2）确定函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）单调区间的方法：

采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin