李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(20130824).docx

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第7章

复习与思考题

1.什么是方程的有根区间？

它与求根有何关系？

P213，若且，根据连续函数性质可知在内至少有一个实根，这时称为的有根区间。

2.什么是二分法？

用二分法求的根，要满足什么条件？

P213

一般地，对于函数如果存在实数c,当x=c时，若,那么把x=c叫做函数的零点。

解方程即要求的所有零点。

假定在区间（x，y）上连续，

先找到a、b属于区间（x，y），使，说明在区间（a,b）内一定有零点，然后求,现在假设

①果，该点就是零点，如果,则在区间内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。

②如果，则在区间内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。

③这样就可以不断接近零点。

通过每次把f（x）的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。

④从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。

3.什么是函数的不动点？

如何确定使它的不动点等价于的零点

P215.

将方程改写成等价的形式，若要求满足，则；反之亦然，称为函数的一个不动点。

4.什么是不动点迭代法？

满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点

P215

求的零点就等价于求的不动点，选择一个初始近似值，将它代入的右端，可求得

，如此反复迭代有

，

称为迭代函数，如果对任何，由得到的序列

有极限

，则称迭代方程收敛，且为的不动点，故称为不动点迭代法。

5.什么是迭代法的收敛阶？

如何衡量迭代法收敛的快慢？

如何确定的收敛阶

P219

设迭代过程收敛于的根，如果当时，迭代误差满足渐近关系式

则称该迭代过程是p阶收敛的，特别点，当p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。

以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。

6.什么是求解的牛顿法？

它是否总是收敛的？

若，是单根，是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。

牛顿法：

当时收敛。

7.什么是弦截法？

试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。

在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。

就是弦截法。

收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2

计算量弦截法<牛顿法（减少了倒数的计算量）

8.什么是解方程的抛物线法？

在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？

P229

设已知方程的三个近似根，，以这三点为节点构造二次插值多项式p（x），并适当选取p2（x）的一个零点作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。

抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618，小于牛顿法2

可用于所想是的实根和复根的求解。

9.什么是方程的重根？

重根对牛顿法收敛阶有何影响？

试给出具有二阶收敛的计算重根方法。

10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？

它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）

11.判断下列命题是否正确：

（1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）

（2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）

（3）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）

（4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）

（5）求多项式的零点问题一定是病态的问题（错误）

（7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）

（8）牛顿法有可能不收敛（正确）

（9）不动点迭代法，其中，若则对任意处置x0迭代都收敛。

（对）

（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）

习题

1、用二分法求方程的正根，要求误差。

[解]令，则，，所以有根区间为；

又因为，所以有根区间为；

，所以有根区间为；

，所以有根区间为；

，所以有根区间为；

，所以有根区间为；

取，

这时它与精确解的距离。

2.为求方程在附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：

1），迭代公式；

2），迭代公式；

3），迭代公式；

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。

[解]1）设，则，从而，所以迭代方法局部收敛。

2）设，则，从而

，所以迭代方法局部收敛。

3）设，则，从而，所以迭代方法发散。

4）设，则，从而

，所以迭代方法发散。

3.比较求的根到三位小数所需的计算量：

1）在区间内用二分法；2）用迭代法，取初值。

[解]1）使用二分法，令，则

，，有根区间为；

，有根区间为；

，有根区间为；

，有根区间为；

，有根区间为；

，有根区间为；

，有根区间为；

，有根区间为；

，有根区间为；

，有根区间为；

，有根区间为；

从而，共二分10次。

2）使用迭代法，则，，

，，

即，共迭代4次。

4.给定函数，设对一切x，存在且，证明对于范围内的任意定数，迭代过程均收敛于的根。

[证明]由可知，令，则，又因为，，所以，即，从而迭代格式收敛。

5.用斯特芬森迭代法计算第2题中

（2）和（3）的近似根，精确到。

斯特芬森迭代法是一种加速的方法。

是埃特金加速方法与不动点迭代结合。

6.设，试确定函数和，使求解且以为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。

7.用下列方法求在附近的根。

根的准确值，要求计算结果准确到四位有效数字。

（1）牛顿法

（2）弦截法，取

（3）抛物线法，取

[解]1），，

，，迭代停止。

2），，，

，迭代停止。

3），其中

，，故

，，，，

，

，，

，下略。

8.分别用二分法和牛顿法求的最小正根。

解：

0是函数的一个根，0～时，x单调递增，tanx单调递减，趋于负无穷。

在此区间内，函数没有根。

所以，最小正根大于.

当x接近且大于时，函数值为正，当x接近且大于时，函数值为负。

因此，最小正根区间为（,）,选择x1=2,函数值为-0.185<0,选择x2=4.6，函数值为4.260>0

按二分法计算，略，。

按牛顿迭代法，其迭代公式为

，取初始值x=4.6，得

9.研究求的牛顿公式，证明对一切，且序列是递减的。

证：

显然，，又因为，所以，又，所以序列是递减的。

10.对于的牛顿公式，证明

收敛到，这里为的根。

证：

11.用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14）计算方程的一个近似根，准确到，初始值。

牛顿法（4.13），m=2。

需要计算到，取。

求重根迭代法（4.14）

需要计算到，取。

。

注：

matlab编程计算得出的结果。

12.应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。

当时，，说明迭代数列递增。

当时，，说明迭代数列递减。

因此，迭代公式是收敛的。

13.应用牛顿法于方程，导出求的迭代公式，并求的值。

令

14.应用牛顿法于方程和，分别导出求的迭代公式，并求。

的迭代公式：

的迭代公式

15.证明迭代公式是计算的三阶方法。

假定初值充分靠近，求。

解：

16.用抛物线法求多项式的两个零点，再利用降阶求出全部零点。

17.非线性方程组在附近有一个解，构造一个不动点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到（按）。

18.用牛顿法解方程组取。