立体几何点线面的位置关系文档格式.docx
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把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线,经过空间任意一点O作直线,我们把与所成的角(或直角)叫异面直线所成的夹角。
(易知:
夹角范围)
定理:
空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
(注意:
会画两个角互补的图形)
2.位置关系:
(3)空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面的位置关系有三种:
(4)空间中平面与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系有两种:
考点1:
点,线,面之间的位置关系
例1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
[答案]1.B
[解析]1.A选项m、n也可以相交或异面,C选项也可以n⊂α,D选项也可以n∥α或n与α斜交.根据线面垂直的性质可知选B.
例2.(2014山东青岛高三第一次模拟考试,5)设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列命题正确的是(
)
A.若则 B.若则
C.若则 D.若则
[答案]2.
D
[解析]2.A选项不正确,因为是可能的;
B选项不正确,因为,时,,都是可能的;
C选项不正确,因为,时,可能有;
D选项正确,可由面面垂直的判定定理证明其是正确的.
故选D
例3.(2014广西桂林中学高三2月月考,4)设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.下列命题中正确的是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
[答案]3.
[解析]3.
若,则平面与垂直或相交或平行,故(A)错误;
若,则直线与相交或平行或异面,故(B)错误;
若,则直线与平面垂直或相交或平行,故(C)错误;
若,则直线,故(D)正确.选D.
例4.(2014周宁、政和一中第四次联考,7)设表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:
①若∥,且则;
②若∥,且∥.则∥;
③若,则∥∥;
④若且∥,则∥.
其中正确命题的个数是
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
[答案]4.
B
[解析]4.
①正确;
②直线或,错误;
③错误,因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直;
④正确.故真正确的是①④,共2个.
2.空间几何平行关系
转化关系:
直线、平面平行的判定及其性质归纳总结
定理
定理内容
符号表示
分析解决问题的常用方法
直线与平面
平行的判定
平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行
在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。
即将“空间问题”转化为“平面问题”
平面与平面
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行
判定的关键:
在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。
即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”
平行的性质
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
1.证明线线平行的方法:
即公理4
证明这条两条直线的方向量共线。
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
即面面平行的性质。
2.证明直线和平面相互平行的方法
证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;
证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行;
证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。
3.证明两平面平行的方法:
(1)利用定义证明。
利用反证法,假设两平面不平行,则它们必相交,再导出矛盾。
(2)判定定理:
一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行,这个定理可简记为线面平行则面面平行。
用符号表示是:
a∩b,aα,bα,a∥β,b∥β,则α∥β。
(3)垂直于同一直线的两个平面平行。
a⊥α,a⊥β则α∥β。
(4)平行于同一个平面的两个平面平行。
4.两个平面平行的性质有五条:
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面,这个定理可简记为:
“面面平行,则线面平行”。
α∥β,aα,则a∥β。
(2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行,这个定理可简记为:
“面面平行,则线线平行”。
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b。
(3)一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。
这个定理可用于证线面垂直。
α∥β,a⊥α,则a⊥β。
(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等
(5)过平面外一点只有一个平面与已知平面平行
3.空间几何垂直关系
1.线线垂直
判断线线垂直的方法:
所成的角是直角,两直线垂直;
垂直于平行线中的一条,必垂直于另一条。
三垂线定理:
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式:
。
注意:
⑴三垂线指PA,PO,AO都垂直α内的直线a其实质是:
斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置,并注意两定理交替使用。
2.线面垂直
(1)定义:
如果一条直线l和一个平面α相交,并且和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l与平面α垂直记作:
l⊥α。
(2)直线与平面垂直的判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
(3)直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3.面面垂直
(1)两个平面垂直的定义:
相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
(2)两平面垂直的判定定理:
(线面垂直面面垂直)
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
(3)两平面垂直的性质定理:
(面面垂直线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
考点2:
证明线面之间的平行与垂直
例1.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°
AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.
(1)证明:
CF⊥平面ADF;
[解析]1.
(1)证明:
∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,
又CD⊥AD,PD∩CD=D,
∴AD⊥平面PCD,∴AD⊥PC,
又AF⊥PC,AF∩AD=A,
∴PC⊥平面ADF,即CF⊥平面ADF.
例2.(2011江苏,16,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°
E,F分别是AP,AD的中点.求证:
(Ⅰ)直线EF∥平面PCD;
(Ⅱ)平面BEF⊥平面PAD.
[答案](Ⅰ)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,
所以直线EF∥平面PCD.
(Ⅱ)连结BD.因为AB=AD,∠BAD=60°
所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.
又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
例3.(2009江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:
(Ⅰ)EF∥平面ABC;
(Ⅱ)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
[答案]3.(Ⅰ)因为E、F分别是A1B、A1C的中点,所以EF∥BC,EF⊄面ABC,BC⊂面ABC.所以EF∥平面ABC.
(Ⅱ)因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以BB1⊥面A1B1C1,BB1⊥A1D,又A1D⊥B1C,所以A1D⊥面BB1C1C,又A1D⊂面A1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
例4.(2008江苏,16,14分)如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E、F分别是AB、BD的中点.求证:
(Ⅰ)直线EF∥平面ACD;
(Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD.
[答案]4.(Ⅰ)在△ABD中,因为E、F分别是AB、BD的中点,所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD,EF⊄平面ACD,
所以直线EF∥平面ACD.
(Ⅱ)在△ABD中,因为AD⊥BD,EF∥AD,所以EF⊥BD.
在△BCD中,因为CD=CB,F为BD的中点,所以CF⊥BD.
因为EF⊂平面EFC,CF⊂平面EFC,EF与CF交于点F,所以BD⊥平面EFC.
又因为BD⊂平面BCD,所以平面EFC⊥平面BCD.
例5.(2013北京海淀区高三三月模拟题,17,14分)在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,,点在线段上,且
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求证:
平面;
[答案]7.(I)因为是正三角形,是中点,所以,即.又因为,平面,所以.又,所以平面.又平面,所以.
(Ⅱ)在正三角形中,,在中,因为为中点,,所以.又,所以.
所以由,得.
所以.在等腰直角三角形中,,所以.所以,,所以.又平面,平面,所以平面.