数学河北省邯郸市届高三第一次模拟考试试题理及答案解析Word文档下载推荐.docx
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A.B.C.D.
7.记不等式组,表示的平面区域为,点的坐标为.有下面四个命题:
:
,的最小值为6;
,;
,的最大值为6;
,.
其中的真命题是()
A.,B.,C.,D.,
8.若的展开式中的系数为80,其中为正整数,则的展开式中各项系数的绝对值之和为()
A.32B.81C.243D.256
9.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题:
“今有善田一亩,价三百;
恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?
”其意思为:
“今有好田1亩价值300钱;
坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷,价值10000钱.问好、坏田各有多少亩?
”已知1顷为100亩,现有下列四个程序框图,其中的单位为钱,则输出的,分别为此题中好、坏田的亩数的是()
A.B.C.D.
10.若仅存在一个实数,使得曲线:
关于直线对称,则的取值范围是()
11.设正三棱锥的高为,且此棱锥的内切球的半径为,若二面角的正切值为,则()
A.5B.6C.7D.8
12.设双曲线:
的左顶点与右焦点分别为,,以线段为底边作一个等腰,且边上的高.若的垂心恰好在的一条渐近线上,且的离心率为,则下列判断正确的是()
A.存在唯一的,且
B.存在两个不同的,且一个在区间内,另一个在区间内
C.存在唯一的,且
D.存在两个不同的,且一个在区间内,另一个在区间内
第Ⅱ卷
二、填空题
13.在平行四边形中,若,则.
14.若圆:
的圆心为椭圆:
的一个焦点,且圆经过的另一个焦点,则圆的标准方程为.
15.若,,则.
16.已知集合,,,若集合的子集的个数为8,则的取值范围为.
三、解答题
(一)必考题.
17.已知数列,的前项和分别为,,,且.
(1)求;
(2)求数列的前项和.
18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动,抽奖箱里放有3个红球,3个黄球和1个蓝球(这些小球除颜色外大小形状完全相同),从中随机一次性取3个小球,每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下:
①凡购物满100(含100)元者,凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会;
②凡购物满188(含188)元者,凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会;
③若取得的3个小球只有1种颜色,则该顾客中得一等奖,奖金是一个10元的红包;
④若取得的3个小球有3种颜色,则该顾客中得二等奖,奖金是一个5元的红包;
⑤若取得的3个小球只有2种颜色,则该顾客中得三等奖,奖金是一个2元的红包.
抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据(单位:
元),绘制得到如图所示的茎叶图.
(1)求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到整数部分);
(2)记一次抽奖获得的红包奖金数(单位:
元)为,求的分布列及数学期望,并计算这20位顾客(假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖)在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.
19.如图,在各棱长均为2的正三棱柱中,,分别为棱与的中点,,为线段上的动点,其中,更靠近,且.
(1)证明:
平面;
(2)若与平面所成角的正弦值为,求异面直线与所成角的余弦值.
20.已知,抛物线:
与抛物线:
异于原点的交点为,且抛物线在点处的切线与轴交于点,抛物线在点处的切线与轴交于点,与轴交于点.
(1)若直线与抛物线交于点,,且,求;
(2)证明:
的面积与四边形的面积之比为定值.
21.已知函数,.
(1)比较与的大小,并加以证明;
(2)当时,,且,证明:
.
(二)选考题
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,且),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的参数方程化为普通方程,并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求曲线与曲线交点的极坐标.
23.[选修4-5:
不等式选讲]
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若直线与函数的图象有公共点,求的取值范围.
【参考答案】
1-5:
ABDAC6-10:
ACCBD11、12:
CA
二、填空题
13.214.15.216.
17.解:
(1)依题意可得,,…,,
∴.
(2)∵,∴,
又,∴.
∴,
∴,则,
故.
18.解:
(1)获得抽奖机会的数据的中位数为110,
平均数为.
(2)的可能取值为2,5,10,
,
则的分布列为
2
5
10
这20位顾客中,有8位顾客获得一次抽奖的机会,有3位顾客获得两次抽奖的机会,
故共有14次抽奖机会.
所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为元.
19.
(1)证明:
由已知得为正三角形,为棱的中点,
在正三棱柱中,底面,则.
又,∴平面,∴.
易证,又,∴平面.
(2)解:
取的中点,的中点,则,,
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
设,
则,
易知是平面的一个法向量,
∴,解得.
∴,,,,
∴异面直线与所成角的余弦值为.
20.
(1)解:
由,消去得.
设,的坐标分别为,,
则,.
∴,∵,∴.
由,得或,则.
设直线:
,与联立得.
由,得,∴.
故直线:
,直线:
从而不难求得,,,
∴,,∴的面积与四边形的面积之比为(为定值).
21.
(1)解:
证明如下:
设,∵为增函数,
∴可设,∵,,∴.
当时,;
当时,.
又,∴,
∵,∴,
∴,.
令,得,,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
,设,
∵,
∴,即.
当时,,则.
当时,,∵,∴,∴.
当或时,不合题意.
从而.
22.解:
(1)∵,∴,即,
又,∴,∴或,
∴曲线的普通方程为(或).
∵,∴,∴,即曲线的直角坐标方程为.
(2)由得,
∴(舍去),,
则交点的直角坐标为,极坐标为.
23.解:
(1)由,得或或,
解得,故不等式的解集为.
(2),
作出函数的图象,如图所示,
直线过定点,
当此直线经过点时,;
当此直线与直线平行时,.
故由图可知,.