华东师大数学分析习题解答1Word格式.docx

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（2）为使上面得到的是严格递减的，只要从起，改取

，

就能保证

　　　　　　　　．　　　　　　□　　　　　　　　　　

２．证明§

1.3例６的（ⅱ）．

证　设为非空有界数集，，试证：

现证明如下．

由假设，显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何，由此推知，从而又有

另一方面，对任何有，于是有

；

同理又有．由此推得

综上，证得结论成立．　　　　　　　　　　　　　　　□

３．设为有界数集，且．证明：

（１）；

（２）．

并举出等号不成立的例子．

证　这里只证（２），类似地可证（１）．

设．则应满足：

于是，，必有

这说明是的一个下界．由于亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论成立．

上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：

设

这时，故得

　　　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　□

４．设为非空有界数集．定义数集

证明：

由假设，都存在，现欲证．依据下确界定义，分两步证明如下：

1）因为所以，必有

这说明的一个下界．

２），使得

从而，故的最大下界．于是结论得证．□

　　５．设为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集

证　这里只证（１），类似地可证（２）．

因此是的一个上界．

另一方面，，满足

故，使得

由条件，不妨设，故当足够小时，仍为一任意小正数．这就证得是的最小上界，即

得证．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

６．证明：

一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性．

证　用反证法．倘若有某个完备有序域不具有阿基米德性，则必存在两个正元素，使序列中没有一项大于．于是，有上界（就是一个），从而由完备性假设，存在上确界．由上确界定义，对一切正整数，有；

同时存在某个正整数，使．由此得出

这导致与相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性．　　　　　　□

７．试用确界原理证明区间套定理．

证　设为一区间套，即满足：

由于有上界，有下界（），因此根据确界原理，存在

．

倘若，则有

而这与相矛盾，故．又因，

所以是一切的公共点．

对于其他任一公共点，由于

，

因此只能是，这就证得区间套存在惟一公共点．　　　　　　　□

８．试用区间套定理证明确界原理．

，其中为的上界．记，

若是的上界，则令；

否则，若不是的上界，则令．一般地，若记，则令

如此得到的显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点即为的上确界．

由于上述区间套的特征是：

对任何，恒为Ｓ的上界，而则不为的上界，故，有，再由，便得，这说明是的一个上界；

又因，故，由于不是的上界，因此更加不是的上界．根据上确界的定义，证得．

同理可证，若为非空有下界的数集，则必有下确界．　　　　　　　　　　□

９．试用区间套定理证明单调有界定理．

证　设为递增且有上界的数列，欲证收敛．为此构造区间套如下：

令；

类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套，使不是的上界，恒为的上界．由区间套定理，，且使

．下面进一步证明．

一方面，由的极限，得到

另一方面，；

由于不是的上界，故；

又因递增，故当时，满足．于是有

这就证得．

　　同理可证为递减而有下界的情形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

　　．试用区间套定理证明聚点定理．

证　设为实轴上的一个有界无限点集，欲证必定存在聚点．

因有界，故，使得，．现设，则．然后用逐次二等分法构造一区间套，使得每次所选择的都包含了中的无限多个点．由区间套定理，，．最后应用区间套定理的推论，当充分大时，使得；

由于中包含了的无限多个点，因此中也包含了的无限多个点，根据聚点定义，上述即为点集的一个聚点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

　　．试用有限覆盖定理证明区间套定理．

证　设为一区间套，欲证存在惟一的点．

下面用反证法来构造的一个无限覆盖．倘若不存在公共点，则中任一点都不是区间套的公共点．于是，，

．即与某个不相交（注：

这里用到了为一闭区间）．当取遍时，这无限多个邻域构成的一个无限开覆盖：

依据有限覆盖定理，存在的一个有限覆盖：

其中每个邻域．若令

则，从而

　　　　　　　　　　．　　　　　　　　（Ж）

　　但是覆盖了，也就覆盖了，这与关系式（Ж）相矛盾．所以必定存在．（有关惟一性的证明，与一般方法相同．）　□

１２．设为非空有界数集．证明：

证　设（若，则为单元素集，结论显然成立）．记，欲证．

首先，，有

这说明是的一个上界．

又因不再是的上界，故，使

所以是的最小上界，于是所证结论成立．　　　　　　　　　　　　　　□

１３．证明：

若数集存在聚点，则必能找出一个各项互异的数列，使．

证依据聚点定义，对．一般地，对于

如此得到的数列必定满足：

　　　　　　　　　．　　　　　　□

．设为实轴上的一个无限点集．试证：

若的任一无限子集必有属于的聚点，则

（１）为有界集；

（２）的所有聚点都属于．

证（１）倘若无上界，则对；

一般地，对于．这就得到一个各项互异的点列．的这个无限子集没有聚点，与题设条件相矛盾，所以必有上界．同理可证必有下界，故为有界集．

（２）因为有界无限点集，故必有聚点．倘若的某一聚点，则由聚点的性质，必定存在各项互异的数列．据题设条件，的惟一聚点应属于，故又导致矛盾．所以的所有聚点都属于．　　　　□

．证明：

，则必有．举例说明，当上述属于时，结论不一定成立．

证　利用§

1.3例4，，使，这说明是的一个聚点．又因又是的上界，故不可能再有比更大的聚点．所以是的上极限．

当时，结论不一定成立．例如，显然不是的上极限．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□

．指出下列数列的上、下极限：

　　　　　　　　　（２）；

（３）；

　　　　　　　（４）；

（５）．

解（１）．

（２），故

（３），故

（４）

故．

（５），故

　　　　　　　　　　．　　　　　　　　　□

．设为有界数列，证明：

　（２）．

证　由

令取极限，即得结论（１）与（２）．　　　　　　　　　　　　　　　　　□

．设，证明：

　　　　（２）；

（３）若，或，则必定收敛．

令取极限，即得结论（１）与（２）．

若，则由（１）立即得到，因此极限存在，即得结论（３）．

类似地，若，则由（２）同样可证得（３）．　　　　　　□