数学建模练习题.doc

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数学建模习题

题目1

1.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。

比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:

1.试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。

解答：

（1）分析：

生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s均无关的成本。

又因为形状一定时一般有,故商品的价格可表示为（α，β，γ为大于0的常数）。

（2）单位重量价格,显然c是w的减函数。

说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。

函数图像如下图所示：

题目2

2.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设,β为增长率。

又设单位时间的销售量为（p为价格）。

今将销售期分为和两段，每段的价格固定，记为,.求,的最优值，使销售期内的总利润最大。

如果要求销售期T内的总销售量为,再求,的最优值。

解答：

由题意得：

总利润为

=+

=

由=0，，可得最优价格

设总销量为，

在此约束条件下的最大值点为

题目3

3.某商店要订购一批商品零售，设购进价,售出,订购费c0（与数量无关），随机需求量r的概率密度为p（r），每件商品的贮存费为（与时间无关）。

问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。

为使这个平均利润为正值，需要对订购费c0加什么限制？

解答：

设订购量为u，则平均利润为

u的最优值满足

最大利润为.为使这个利润为正值，应有

.

题目4

4.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。

解答：

雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸l之间的关系为，，可得。

雨滴在重力和空气阻力的作用下以匀速v降落，所以=，而.由以上关系得.

题目5

5.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。

按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。

此外还有以下限制：

1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；

3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

表1证券信息

证券名称

证券种类

信用等级

到期年限

到期税前收益/%

A

市政

2

9

4.3

B

代办机构

2

15

5.4

C

政府

1

4

5

D

政府

1

3

4.4

E

市政

5

2

4.5

问：

（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？

（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？

若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

解答：

（1）设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为（百万元），按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型

s.t.

，即

，即

用LINGO求解得到：

证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。

（2）由

（1）的结果中影子价格可知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元。

大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。

投资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解得到：

证券A,C,E分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。

（3）由

（1）结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增加0.35%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益可减少0.112%（按50%的税率纳税），故若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。

题目6

6.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A,B）。

按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别为原料丙混合生产A,B。

已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别为3%，1%，2%，1%，进货价格分别为6,16,10,15（千元/t）；产品A,B的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%），售价分别为9,15（千元/t）。

根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50t；产品A,B的市场需求量分别为100t，200t。

问应如何安排生产？

解答：

设分别是产品A中是来自混合池和原料丙的吨数，分别是产品B中来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为.优化目标是总利润最大，即

约束条件为：

1）原料最大供应量限制：

2）产品最大需求量限制：

3）产品最大含硫量限制：

对产品A，，即

对产品B，类似可得

4）其他限制：

用LINGO求解得到结果为：

，其余为0；目标函数值为450.

题目7

7.建立耐用消费品市场销售量的模型。

如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数？

解答：

设耐用品销售量为x（t），可用logistic模型描述x（t）的变化规律，即=kx（N-x）,其中N是市场饱和量，k是比例系数，N，k，可由过去若干时期的销售量确定，不妨设,则方程可离散化为,可取或，N和k可由最小二乘法估计。

题目8

8.在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。

（1）设尾数n（t）的（相对）减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼质量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼质量的减少率与质量本身成正比。

分别建立尾数与每尾鱼质量的微分方程，并求解。

（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是En（t）.问如何选择T和E，使从T开始的捕获量最大。

解答：

（1）尾数n（t）满足得.每尾鱼重w（t）满足，不妨近似设w（0）=0，得.

（2）设t=T时开始捕捞，且单位时间捕捞率为E，则tT时有，因此得，单位时间捕捞鱼的尾数为En（t），每尾鱼重w（t），所以从T开始的鱼捕捞量是，问题为求使y最大，可用数值法求解。

题目9

9.速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是。

用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v,s,的关系。

解答：

设,量纲表达式：

，解得，故（是无量纲常数）。

题目10

10.大陆上物种数目可以看做常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。

岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数量有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少。

在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。

解答：

植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作.若不考虑自然资源对植物生长的限制，则模型为

平衡点为P1（0，0,0），.

题目11

11.下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入（千元），风险偏好度和人寿保险额y（千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。

研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。

研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。

请你通过表2中的数据建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。

表2

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

196

63

252

84

126

14

49

49

266

x1

66.29

40.96

72.996

45.01

57.204

26.852

38.122

35.84

75.796

x2

7

5

10

6

4

5

4

6

9

序号

10

11

12

13

14

15

16

17

18

y

49

105

98

77

14

56

245

133

133

x1

37.41

54.38

46.186

46.13

30.366

39.06

79.38

52.766

55.916

x2

5

2

7

4

3

5

1

8

6

解答：

最终的回归方程为,且（如模型中加入项，其回归系数置信区间均含零点）。

表明只有经理们的年均收入及其二次项和风险偏好度本身对他们投保的人寿保险额有显著影响。

题目12

12.表3给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（单位：

元）的数据，从散点图可以明显的发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。

希望你构造一个合适的回归模型全面的描述生产批量与单位成本的关系。

表3

生产批量

650

340

400

800

300

600

720

480

440

540

750

单位成本

2.48

4.45

4.52

1.38

4.65

2.96

2.18

4.04

4.2

3.1

1.5

生产批量与单位成本分别记作x和y，为表示x在500以下和以上时，y与x的不同关系，引入一个虚拟变量D，令建立线性回归模型，得到

参数

参数估计值

参考置信区间

β0

6.1621

[5.0368,7.2874]

β1

-0.0047

[-0.0074,-0.0020]

β2

-0.0036

[-0.0076,0.0003]

当生产批量小于500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047元；当生产批量超过500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047+0.0036=0.0083元。

从散点图看，也可以拟合x的二次回归模型.

题目13

13.在一项调查降价折扣券对顾客的消费行为影响的研究中，商家对1000个顾客发放了商品折扣券和宣传资料，折扣券的折扣比例分别为5%，10%，15%，20%，30%，每种比例的折扣券均发放了200人，现记录他们在一个月内使用折扣券购物的人数和比例数据如表4.

表4

折扣比例/%

持折扣券人数

使用折扣券人数

使用折扣券人数比例

5

200

32

0.16

10

200

51

0.255

15

200

70

0.35

20

200

103

0.515

30

200

148

0.74

（1）对使用折扣券人数比例先做logit变换，再对使用折扣券人数比例与折扣比例，建立普通的一元线性回归模型。

（2）直接利用MATLAB统计工具箱中的glmfit命令，建立使用折扣券人数比例与折扣比例的logit模型。

与

（1）作比较，并估计若想要使用折扣券人数比例为25%，则折扣券的折扣比例应该为多大？

解答：

（1）记x为折扣比例，为使用折扣券人数比