版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数223第1课时反函数及对数函数的图象和性质学案湘教版必修1文档格式.docx
《版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数223第1课时反函数及对数函数的图象和性质学案湘教版必修1文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《版高考数学专题2指数函数对数函数和幂函数223第1课时反函数及对数函数的图象和性质学案湘教版必修1文档格式.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
当x>0时,0<y<1;
当x<0时,y>1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
[预习导引]
1.对数函数的概念
把函数y=logax(x>0,a>0,a≠1)叫作(以a为底的)对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
2.对数函数的图象与性质
过点
过点(1,0),即x=1时,y=0
当0<x<1时,y<0;
当x>1时,y>0
当0<x<1时,y>0;
当x>1时,y<0
是(0,+∞)上的增函数
是(0,+∞)上的减函数
3.反函数
(1)对数函数y=logax(a>0且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.
(2)要寻找函数y=f(x)的反函数,可以先把x和y换位,写成x=f(y),再把y解出来,表示成y=g(x)的形式,如果这种形式是唯一确定的,就得到f(x)的反函数g(x).
要点一 对数函数的概念
例1 指出下列函数哪些是对数函数?
(1)y=3log2x;
(2)y=log6x;
(3)y=logx3;
(4)y=log2x+1.
解
(1)log2x的系数是3,不是1,不是对数函数.
(2)符合对数函数的结构形式,是对数函数.
(3)自变量在底数位置上,不是对数函数.
(4)对数式log2x后又加1,不是对数函数.
规律方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0且a≠1)的形式,即必须满足以下条件
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数.
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2),则该对数函数的解析式为( )
A.y=log2xB.y=2log4x
C.y=log2x或y=2log4xD.不确定
答案 A
解析 设对数函数的解析式为y=logax(a>0且a≠1),由题意可知loga4=2,∴a2=4,∴a=2,
∴该对数函数的解析式为y=log2x.
要点二 对数函数的图象
例2 如图所示,曲线是对数函数y=logax的图象,已知a取,,、,则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为( )
A.、、、
B.、、、
C.、、、
D.、、、
解析 方法一 先排c1、c2底的顺序,底都大于1,当x>1时图低的底大,c1、c2对应的a分别为、.然后考虑c3、c4底的顺序,底都小于1,当x<1时底大的图高,c3、c4对应的a分别为、.综合以上分析,可得c1、c2、c3、c4的a值依次为、、、.故选A.
方法二 作直线y=1与四条曲线交于四点,由y=logax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底数小,所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为、、、,故选A.
规律方法 函数y=logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响.
观察图象,注意变化规律:
(1)上下比较:
在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象向右越靠近x轴,0<a<1时a越小,图象向右越靠近x轴.
(2)左右比较:
比较图象与y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
跟踪演练2
(1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点( )
A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)
(2)如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则( )
A.0<a<b<1
B.0<b<a<1
C.a>b>1
D.b>a>1
答案
(1)D
(2)B
解析
(1)令x+2=1,即x=-1,
得y=loga1+1=1,
故函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).
(2)作直线y=1,则直线与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知0<b<a<1.
要点三 对数函数的定义域
例3
(1)函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( )
A.(-∞,-1)B.(1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞)D.(-∞,+∞)
(2)若f(x)=,则f(x)的定义域为( )
A.B.
C.∪(0,+∞)D.
答案
(1)C
(2)C
解析
(1)由题意知解得x>-1且x≠1.
(2)由题意有
解得x>-且x≠0.
规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外,还要对这种函数自身有如下要求:
一是要特别注意真数大于零;
二是要注意对数的底数;
三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
跟踪演练3
(1)函数y=ln(1-x)的定义域为( )
A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]
(2)函数y=的定义域是( )
A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞)D.[-1,1)∪(1,+∞)
答案
(1)B
(2)C
解析
(1)因为y=ln(1-x),所以
解得0≤x<1.
(2)要使函数有意义,需
解得x>-1且x≠1,
故函数的定义域为(-1,1)∪(1,+∞),故选C.
要点四 反函数
例4 求下列函数的反函数:
(1)y=2x-5;
(2)y=;
(3)y=1+e.
解
(1)从x=2y-5中解得y=,即为所求;
(2)从x=中解得y=,即为所求;
(3)从x=1+e移项得x-1=e.两端取自然对数得到ln(x-1)=,解得y=2ln(x-1),即为所求.
规律方法 要找寻函数y=f(x)的反函数,可以先把x和y换位,写成x=f(y),再把y解出来,表示成y=g(x)的形式.如果这种形式是唯一确定的,就得到了f(x)的反函数g(x).既然y=g(x)是从x=f(y)解出来的,必有f(g(x))=x,这个等式也可以作为反函数的定义.
跟踪演练4 y=lnx的反函数是________.
答案 y=ex
解析 由y=lnx,得x=ey,所以反函数为y=ex.
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y=loga(2x) B.y=log22x
C.y=log2x+1D.y=lgx
答案 D
解析 选项A、B、C中的函数都不具有“y=logax(a>0且a≠1)”的形式,只有D选项符合.
2.函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是( )
A.(-,+∞)B.(-∞,-)
C.(-,)D.(-,1)
解析 由可得-<x<1.
3.函数y=ax与y=-logax(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )
解析 函数y=-logax恒过定点(1,0),排除B项;
当a>1时,y=ax是增函数,
y=-logax是减函数,排除C项,
当0<a<1时,y=ax是减函数,
y=-logax是增函数,排除D项,A项正确.
4.若a>0且a≠1,则函数y=loga(x-1)+1的图象恒过定点________.
答案 (2,1)
解析 函数图象过定点,则与a无关,
故loga(x-1)=0,
所以x-1=1,x=2,y=1,
所以y=loga(x-1)+1过定点(2,1).
5.函数y=lgx的反函数是________.
答案 y=10x
解析 由反函数的定义知x=10y,故反函数为y=10x.
1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y=logax(a>0且a≠1)这种形式.
2.在对数函数y=logax中,底数a对其图象直接产生影响,学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.
3.涉及对数函数定义域的问题,常从真数和底数两个角度分析.
一、基础达标
1.函数y=logax的图象如图所示,则a的值可以是( )
A.0.5 B.2
C.eD.π
解析 ∵函数y=logax的图象单调递减,∴0<a<1,只有选项A符合题意.
2.函数f(x)=lg(x-1)+的定义域为( )
A.(1,4]B.(1,4)
C.[1,4]D.[1,4)
解析 由解得1<x≤4.
3.在同一坐标系中,函数y=log3x与y=的图象之间的关系是( )
A.关于y轴对称B.关于x轴对称
C.关于原点对称D.关于直线y=x对称
答案 B
解析 ∵y==-log3x,∴函数y=log3x与y=的图象关于x轴对称.
4.如图是三个对数函数的图象,则a、b、c的大小关系是( )
A.a>b>cB.c>b>a
C.c>a>bD.a>c>b
解析 y=logax的图象在(0,+∞)上是上升的,所以底数a>1,函数y=logbx,y=logcx的图象在(0,+∞)上都是下降的,因此b,c∈(0,1),又易知c>b,故a>c>b.
5.已知函数f(x)=那么f(f())的值为( )
A.27 B.C.-27 D.-
解析 f()=log2=log22-3=-3,f(f())=f(-3)=3-3=.
6.已知对数函数f(x)的图象过点(8,-3),则f
(2)=________.
答案 -
解析 设f(x)=logax(a>0,且a≠1),
则-3=loga8,∴a=.
∴f(x)=logx,f
(2)=log
(2)
=-log2
(2)=-.
7.求下列函数的定义域:
(1)f(x)=lg(x-2)+;
(2)f(x)=log(x+1)(16-4x).
解
(1)要使函数有意义,需满足
解之得x>2且x≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3,+∞).
(2)要使函数有意义,需满足
解之得-1<x<0或0<x<4.
∴函数定义域为(-1,0)∪(0,4).
二、能力提升
8.设函数f(x)=log2x的反函数为y=g(x),且g(a)=,则a等于( )
A.2 B.-2C. D.-
解析 ∵函数f(x)=log2x的反函数为y=2x,即g(x)=2x.
又∵g(a)=,∴2a=,∴a=-2.
9.若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的图象大致是( )
解析 由函数f(x)=loga(x+b)的图象可知,函数f(x)=loga(x+b)在(-b,+∞)上是减函数.
所以0<a<1且0<b<1.所以g(x)=ax+b在R上是减函数,故排除A,B.由g(x)的值域为(b,+∞).所以g(x)=ax+b的图象应在直线y=b的上方,故排除C.
10.若log2a<
0,则a的取值范围是____________.
答案
解析 当2a>
1时,∵log2a<
0=log2a1