高考数学理复习第2部分 数学文化专项练2含答案Word文件下载.docx

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C．1275升D．1467升

B　[由题意，知每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则第5天的总人数为5×

64＋×

7＝390，所以第5天应发大米390×

3＝1170升，

3．《算数书》竹简于20世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：

“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3.那么，近似公式V≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　）

【07804142】

A.B．

C.D．

B　[设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面圆周长L＝2πr，所以圆锥底面圆的半径r＝，则圆锥的体积为V＝Sh＝πr2h＝π·

h＝L2h.又V≈L2h，所以L2h≈L2h，解得π≈.]

4．（2017·

福建三明5月质检）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．如图1，正方形ABCD是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（　　）

图1

A.r3B．πr3

C.r3D．πr3

C　[由题意，根据祖暅原理，求得该几何体的体积与中截面面积为（2r）2＝πR2的球的体积相等，所以几何体的体积为πR3＝×

4r2×

r＝r3.]

5．（2017·

四川泸州四诊）《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图2的算法来实现，若输入的S，T的值分别为40,126，则输出a，b的值分别为（　　）

图2

A．17,23B．21,21

C．19,23D．20,20

A　[依据流程图运行程序：

S＝40，T＝126，此时T≥2S成立，（T－2S）÷

2＝46÷

2＝23，余数为0，则b＝＝23，a＝S－b＝40－23＝17，输出a，b结束程序运行．

综上可得输出a，b的值分别为17,23.]

6．（2017·

广州一模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；

将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）

A．8πB．12π

C．20πD．24π

C　[法一：

（还原几何法）将三棱锥PABC放入长方体中，如图，三棱锥PABC的外接球就是长方体的外接球．因为PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，所以BC＝＝2.设外接球的半径为R，依题意可得（2R）2＝22＋22＋

（2）2＝20，故R2＝5，则球O的表面积为4πR2＝20π，选C.

法二：

（直接法）利用鳖臑的特点求解，如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2R＝PC＝，所以球O的表面积为4πR2＝20π，选C.]

7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：

“今有圆材埋在壁中，不知大小；

以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？

”其意为：

今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？

长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图3所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分），已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（注：

1丈＝10尺，1尺＝10寸，π≈3.14，sin22.5°

≈）（　　）

图3

A．600立方寸B．610立方寸

C．620立方寸D．633立方寸

D　[连接OA，OB，OD，设⊙O的半径为R，则（R－1）2＋52＝R2，∴R＝13.sin∠AOD＝＝.

∴∠AOD≈22.5°

，即∠AOB≈45°

.故∠AOB≈.∴S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB＝×

×

169－×

10×

12≈6.33（平方寸），则V＝633（立方寸），故选D.]

8．（2017·

石家庄一模）祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：

“幂势既同，则积不容异”．意思是：

夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：

图4①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图4②、图4③、图4④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（　　）

图4

A．①②B．①③

C．②④D．①④

D　[设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π（R2－h2）；

②中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π（R－h）2；

③中截面圆的半径为R－，则截面圆的面积为π2；

④中截面圆的半径为，则截面圆的面积为π（R2－h2）．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.]

9．（2017·

湖北七市联考）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图5所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,4，则输出的v的值为（　　）

【07804143】

图5

A．6B．25

C．100D．400

C　[输入n＝3，x＝4，第一步：

v＝1，i＝3－1＝2；

第二步：

v＝1×

4＋2＝6，i＝2－1＝1；

第三步：

v＝6×

4＋1＝25，i＝1－1＝0；

第四步：

v＝25×

4＝100，i＝0－1＝－1＜0.程序结束，输出的v＝100，故选C.]

10．假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：

图6

①a1＋c1＝a2＋c2；

②a1－c1＝a2－c2；

③＜；

④c1a2＞a1c2.

其中正确的式子的序号是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

D　[①由题图知2a1＞2a2,2c1＞2c2；

即a1＞a2，c1＞c2，∴a1＋c1＞a2＋c2，∴①不正确．

②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正确．

③∵c1a2＞a1c2，a1＞0，a2＞0，

∴＞.即＞，∴③不正确．

④∵a1＞a2＞0，c1＞c2＞0.∴a＞a，c＞c，

又∵a1－c1＝a2－c2.即a1＋c2＝a2＋c1，即a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1.

∴a－c＋c－a＋2a1c2＝2a2c1，即（a1－c1）（a1＋c1）－（a2－c2）（a2＋c2）＋2a1c2＝2a2c1，整理得（a1－c1）（a1－a2＋c1－c2）＋2a1c2＝2a2c1，∵a1＞c1，a1＞a2，c1＞c2，

∴2a1c2＜2a2c1.

即c1a2＞a1c2，∴④正确．故选D.]

11．（2017·

湖北黄冈3月模拟）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验和查理斯试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值：

先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；

最后再根据统计数m来估计π的值，假如统计结果是m＝56，那么可以估计π≈________.（用分数表示）

　[由题意得，所以＝，＝π－，π＝.]

12．（2017·

江西4月新课程教学质量检测）我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图7），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是________．

图7

405　[前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，S9＝9×

9＋×

9＝405.]

13．（2017·

衡水三模）公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：

“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V＝kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V＝kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V＝kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；

在正方体中，D表示棱长）．假设运用次体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面积的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1∶k2∶k3＝________.

∶∶1　[由题意得，球的体积为V1＝πR3＝π＝a3⇒k1＝；

等边圆柱的体积为V2＝πR2a＝πa＝a3⇒k2＝；

正方体的体积V3＝a3⇒k3＝1，所以k1∶k2∶k3＝∶∶1.]

14．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用如图8

（1）所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·

帕斯卡的著作（1655年）介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinesetriangle），如图8

（1）.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图8

（2）．在杨辉三角中相邻两行满足关系式：

C＋C＝C，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________.

【07804144】

1　1

1　2　1

1　3　3　1

1　4　6　4　1

1　5　10　10　5　1

……

C　C…C…　CC

图8

（1）

…

　……　

图8

（2）

＝＋　[类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C＋C＝C，有＝＋.]