7．微积分基本定理
一般地，如果f （x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）＝f （x），那么ʃf （x）dx＝F（b）－F（a），这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
为了方便，常把F（b）－F（a）记成F（x）|，即ʃf （x）dx＝F（x）|＝F（b）－F（a）．
概念方法微思考
1．根据f′（x）的几何意义思考一下，|f′（x）|增大，曲线f （x）的形状有何变化？
提示 |f′（x）|越大，曲线f （x）的形状越来越陡峭．
2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？
提示 不一定．
3．ʃf （x）dx的值是否总等于曲线f （x）和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？
提示 不是．函数y＝f （x）在区间[a，b]上连续且恒有f （x）≥0时，定积分ʃf （x）dx的值才等于由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f （x）所围成的曲边梯形的面积．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）f′（x0）是函数y＝f （x）在x＝x0附近的平均变化率．（ × ）
（2）f′（x0）＝[f （x0）]′.（ × ）
（3）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ × ）
（4）函数f （x）＝sin（－x）的导数是f′（x）＝cosx．（ × ）
题组二 教材改编
2．若f （x）＝x·ex，则f′
（1）＝________.
答案 2e
解析 ∵f′（x）＝ex＋xex，∴f′
（1）＝2e.
3．曲线y＝1－在点（－1，－1）处的切线方程为____________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 ∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2.
∴所求切线方程为2x－y＋1＝0.
题组三 易错自纠
4．如图所示为函数y＝f （x），y＝g（x）的导函数的图象，那么y＝f （x），y＝g（x）的图象可能是（ ）
答案 D
解析 由y＝f′（x）的图象知，y＝f′（x）在（0，＋∞）上单调递减，说明函数y＝f （x）的切线的斜率在（0，＋∞）上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′（x）与y＝g′（x）的图象在x＝x0处相交，说明y＝f （x）与y＝g（x）的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
5．设f （x）＝ln（3－2x）＋cos2x，则f′（0）＝________.
答案 －
解析 因为f′（x）＝－－2sin2x，
所以f′（0）＝－.
6．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
答案 （－ln2,2）
解析 设P（x0，y0），因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，
所以点P处的切线斜率为k＝＝－2，
所以－x0＝ln2，所以x0＝－ln2，
所以y0＝eln2＝2，所以点P的坐标为（－ln2,2）．
7．＝________.
答案 2
解析 由题意得
＝＝
＝－（sin0－cos0）＝2.
导数的运算
1．已知f （x）＝ln，则f′（x）＝________.
答案
解析 f′（x）＝′＝′＝·＝.
2．已知f （x）＝sin，则f′（x）＝________.
答案 －cosx
解析 因为f （x）＝sin＝－sinx，
所以f′（x）＝′＝－（sinx）′＝－cosx.
3．f （x）＝x（2019＋lnx），若f′（x0）＝2020，则x0＝______.
答案 1
解析 f′（x）＝2019＋lnx＋x·＝2020＋lnx，
由f′（x0）＝2020，得2020＋lnx0＝2020，∴x0＝1.
4．（2020·葫芦岛模拟）已知函数f （x）的导函数为f′（x），f （x）＝2x2－3xf′
（2）＋lnx，则f′
（2）等于（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 ∵f （x）＝2x2－3xf′
（2）＋lnx，
∴f′（x）＝4x－3f′
（2）＋，将x＝2代入，
得f′
（2）＝8－3f′
（2）＋，得f′
（2）＝.
思维升华
（1）求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．
（2）①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例1
（1）（2020·白山期末）已知函数f （x）＝（2x－a）ex，且f′
（1）＝3e，则曲线y＝f （x）在x＝0处的切线方程为（ ）
A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0
C．x－3y＋1＝0D．x＋3y＋1＝0
答案 B
解析 ∵f′（x）＝2ex＋（2x－a）ex＝（2x＋2－a）ex，
∴f′
（1）＝（4－a）e＝3e，解得a＝1，即f （x）＝（2x－1）ex，f （0）＝－1，
则f′（x）＝（2x＋1）ex，∴f′（0）＝1，
∴曲线y＝f （x）在x＝0处的切线方程为y＋1＝1×（x－0），即x－y－1＝0.
（2）已知函数f （x）＝xlnx，若直线l过点（0，－1），并且与曲线y＝f （x）相切，则直线l的方程为______________．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点（0，－1）不在曲线f （x）＝xlnx上，
∴设切点为（x0，y0）．又∵f′（x）＝1＋lnx，
∴直线l的方程为y＋1＝（1＋lnx0）x.
∴由解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点2 求参数的值（范围）
例2
（1）直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A（1，3），则2a＋b＝________.
答案 1
解析 由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，
则
由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
（2）函数f （x）＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2]B．（－∞，2）
C．（2，＋∞）D．（0，＋∞）
答案 B
解析 函数f （x）＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′（x）＝2在（0，＋∞）上有解．
所以f′（x）＝＋a＝2在（0，＋∞）上有解，
则a＝2－.
因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是（－∞，2）．
命题点3 导数与函数图象
例3
（1）已知函数y＝f （x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
答案 B
解析 由y＝f′（x）的图象是先上升后下降可知，函数y＝f （x）图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.
（2）已知y＝f （x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f （x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf （x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝______.
答案 0
解析 由题图可知曲线y＝f （x）在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′（3）＝－.
∵g（x）＝xf （x），∴g′（x）＝f （x）＋xf′（x），
∴g′（3）＝f （3）＋3f′（3），
又由题图可知f （3）＝1，
∴g′（3）＝1＋3×＝0.
命题点4 两曲线的公切线
例4 若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln（x＋1）的切线，则b＝________.
答案 1－ln2
解析 设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln（x＋1）的切点分别为（x1，lnx1＋2）和（x2，ln（x2＋1））．
则切线方程分别为y－lnx1－2＝（x－x1），y－ln（x2＋1）＝（x－x2），
化简得y＝x＋lnx1＋1，y＝x－＋ln（x2＋1），
依题意，解得x1＝，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.
思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面
（1）已知切点A（x0，f （x0））求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′（x0）．
（2）若求过点P（x0，y0）的切线方程，可设切点为（x1，y1），由求解即可．
（3）函数图象在每一点处的切线斜率反映函数图象在相应点处的变化情况．
跟踪训练1
（1）设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.
答案 －1
解析 ∵y′＝，∴＝－1.
由条件知＝－1，∴a＝－1.
（2）已知f （x）＝x2，则曲线y＝f （x）过点P（－1,0）的切线方程是______________________．
答案 y＝0或4x＋y＋4＝0
解析 设切点坐标为（x0，x），
∵f′（x）＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0（x＋1），
∴x＝2x0（x0＋1），解得x0＝0或x0＝－2，
∴所求切线方程为y＝0或y＝－4（x＋1），
即y＝0或
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