中考数学专题复习 第四讲 创新思维问题研究Word文档格式.docx

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4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×

4是12的最佳分解，所以F（12）=

（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．

求证：

对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；

（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；

（3）在

（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．

【考点】59：

因式分解的应用．

【分析】

（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；

（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；

（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．

【解答】解：

（1）证明：

对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），

∵|n﹣n|=0，

∴n×

n是m的最佳分解，

∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）=

=1；

（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，

∵t是“吉祥数”，

∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，

∴y=x+4，

∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，

∴满足“吉祥数”的有：

15，26，37，48，59；

（3）F（15）=

，F（26）=

，F（37）=

，F（48）=

=

，F（59）=

，

∵

＞

∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为

方法指导：

“新定义型专题”关键要把握两点:

（1）掌握问题原型的特点及问题解决的思想方法;

（2）根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.

题型2:

操作创新题

例题:

（2017浙江义乌）如图，∠AOB=45°

，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是　　．

【考点】KI：

等腰三角形的判定．

【分析】分三种情况讨论：

先确定特殊位置时成立的x值，

①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；

②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；

③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：

分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．

分三种情况：

②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，

∴MC⊥OB，

∵∠AOB=45°

∴△MCO是等腰直角三角形，

∴MC=OC=4，

∴OM=4

当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4

﹣4时，同理可知：

点P恰好有三个；

③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，

则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；

点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；

∴当4＜x＜4

时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；

综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：

x=0或x=4

﹣4或4

故答案为：

操作过程中注意对一些问题的全面性分析,点的位置及其角度的不同或许出现不同的答案.

题型3:

“老树新花”型

（2017江西）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为　　．

【考点】11：

正数和负数．

【分析】根据有理数的加法，可得答案．

图②中表示（+2）+（﹣5）=﹣3，

﹣3．

方法指导:

理解题干中告诉我们的古代的数学知识是解题的关键所在.

【提升训练】

1.（2017张家界）阅读理解题：

定义：

如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．

例如计算：

（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；

（1+i）×

（2﹣i）=1×

2﹣i+2×

i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；

根据以上信息，完成下列问题：

（1）填空：

i3=　﹣i　，i4=　1　；

（2）计算：

（3﹣4i）；

（3）计算：

i+i2+i3+…+i2017．

【考点】2C：

实数的运算．

（1）把i2=﹣1代入求出即可；

（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=﹣1代入求出即可；

（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．

（1）i3=i2•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．

﹣i，1；

（2）（1+i）×

（3﹣4i）

=3﹣4i+3i﹣4i2

=3﹣i+4

=7﹣i；

（3）i+i2+i3+…+i2017

=i﹣1﹣i+1+…+i

=i．

2.（2017重庆B）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷

111=6，所以F（123）=6．

（1）计算：

F（243），F（617）；

（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：

k=

，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．

（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；

（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k=

中，找出最大值即可．

（1）F（243）=（423+342+234）÷

111=9；

F（617）=（167+716+671）÷

111=14．

（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，

∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷

111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷

111=y+6．

∵F（t）+F（s）=18，

∴x+5+y+6=x+y+11=18，

∴x+y=7．

∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，

∴

或

∵s是“相异数”，

∴x≠2，x≠3．

∵t是“相异数”，

∴y≠1，y≠5．

∴k的最大值为

【点评】本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：

（1）根据F（n）的定义式，求出F（243）、F（617）的值；

（2）根据s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，找出关于x、y的二元一次方程．

3.（2017湖南株洲）

如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：

已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°

，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（　　）

A．5B．4C．

D．

【考点】R2：

旋转的性质；

JB：

平行线的判定与性质；

KW：

等腰直角三角形．

【分析】由△DQF∽△FQE，推出

，由此求出EQ、FQ即可解决问题．

如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°

，DE=DF，∠1=∠2=∠3，

∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°

∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，

∴△DQF∽△FQE，

∵DQ=1，

∴FQ=

，EQ=2，

∴EQ+FQ=2+

故选D

4.（2017江西）我们定义：

如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°

＜α＜180°

）得到AB'

，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'

，连接B'

C'

．当α+β=180°

时，我们称△A'

B'

是△ABC的“旋补三角形”，△AB'

边B'

上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△AB'

是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=