函数导数与不等式解析几何数列型解答题二文档格式.docx

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∵sinB≠0，∴cosA＝⇒A＝.

（2）f（x）＝sinxcosx＋sinxsin＝sinxcosx

＋sin2x＝sin2x＋·

＝＋sin2x－

cos2x＝＋sin.

∵|x|≤A，A＝，∴－≤x≤⇒－π≤2x－≤.

∴－1≤sin≤⇒≤＋sin≤.

∴函数f（x）的值域为[，]．

2．（12分）（2011·

正定）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°

，BF＝FC，H为BC的中点．

（1）求证：

FH∥平面EDB；

（2）求证：

AC⊥平面EDB；

（3）求四面体B—DEF的体积．

分析：

本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直、体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力．

（1）证明：

设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG、GH，由于H为BC的中点，

故GH綊AB.

又EF綊AB，∴EF綊GH，

∴四边形EFHG为平行四边形，

∴EG∥FH，而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB.

（2）证明：

由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.

又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，

∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.

∴FH⊥平面ABCD.

∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，

∴AC⊥平面EDB.

（3）∵EF⊥FB，∠BFC＝90°

，∴BF⊥平面CDEF.

∴BF为四面体B－DEF的高．

∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝.又EF＝1，

∴VB－DEF＝×

×

1×

＝.

3．（12分）（2011·

预测题）小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立．

（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；

（2）用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．

（1）设小王过第一关但未过第二关的概率为P1，

则P1＝2＝.

（2）X的取值为0,1000,3000,6000，

则P（X＝0）＝＋×

＝，

P（X＝1000）＝2＝，

P（X＝3000）

＝22＝，

P（X＝6000）

∴X的概率分布列为

X

1000

3000

6000

P

∴X的数学期望E（X）＝0×

＋1000×

＋3000×

＋6000×

＝2160.

4．（12分）（2011·

天津卷）已知a>

0，函数f（x）＝lnx－ax2，x>

0.（f（x）的图象连续不断）

（1）求f（x）的单调区间；

（2）当a＝时，证明：

存在x0∈（2，＋∞），使f（x0）＝f；

（3）若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f（α）＝f（β），证明：

≤a≤.

本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力、分类讨论的思想、分析解决问题的能力．

（1）f′（x）＝－2ax＝，x∈（0，＋∞）．令f′（x）＝0，解得x＝.

当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x

f′（x）

＋

－

f（x）

极大值

所以，f（x）的单调递增区间是，f（x）的单调递减区间是.

当a＝时，f（x）＝lnx－x2，由

（1）知f（x）在（0,2）内单调递增，在（2，＋∞）内单调递减．

令g（x）＝f（x）－f.由于f（x）在（0,2）内单调递增，故f

（2）>

f，即g

（2）>

0.

取x′＝e>

2，则g（x′）＝<

所以存在x0∈（2，x′），使g（x0）＝0，即存在x0∈（2，＋∞），使f（x0）＝f.（说明：

x′的取法不唯一，只要满足x′>

2，且g（x′）<

即可．）

（3）证明：

由f（α）＝f（β）及

（1）的结论知α<

<

β，从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（α），又由β－α≥1，α，β∈[1,3]，知1≤α≤2≤β≤3.

故即

从而≤a≤.

5．（12分）已知椭圆＋＝1（a>

b>

0）的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（－a,0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且·

＝4.求y0的值．

本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力．

（1）由e＝＝，得3a2＝4c2，

再由c2＝a2－b2，得a＝2b.

由题意可知×

2a×

2b＝4，即ab＝2.

解方程组得a＝2，b＝1.

所以椭圆的方程为＋y2＝1.

（2）由

（1）可知A（－2,0），设B点的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x＋2）．

于是A，B两点的坐标满足方程组

由方程组消去y并整理，得

（1＋4k2）x2＋16k2x＋（16k2－4）＝0.

由－2x1＝，得

x1＝，从而y1＝.

设线段AB的中点为M，则M的坐标为

.

以下分两种情况：

①当k＝0时，点B的坐标为（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝（－2，－y0），＝（2，－y0）．由·

＝4，得y0＝±

2.

②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为

y－＝－.

令x＝0，解得y0＝－.

由||＝（－2，－y0），＝（x1，y1－y0），

·

＝－2x1－y0（y1－y0）

＝＋

＝＝4，

整理得7k2＝2，故k＝±

，所以y0＝±

综上，y0＝±

2或y0＝±

6．（12分）（2011·

湖北卷）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：

a1＝a（a≠0），an＋1＝rSn（n∈N*，r∈R，r≠－1）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：

对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．

本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想．

（1）由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减可得

an＋2－an＋1＝r（Sn＋1－Sn）＝ran＋1，即an＋2＝（r＋1）an＋1，又a2＝ra1＝ra，所以当r＝0时，数列{an}为：

a,0，…，0，…；

当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0（n∈N*），

于是由an＋2＝（r＋1）an＋1，可得＝r＋1（n∈N*），

∴a2，a3，…，an，…成等比数列，

∴当n≥2时，an＝r（r＋1）n－2a.

综上，数列{an}的通项公式为an＝

（2）对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列，证明如下：

当r＝0时，由

（1）知，an＝

∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．

当r≠0，r≠－1时，∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1.若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，

∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1.

由

（1）知，a2，a3，…，am，…的公比r＋1＝－2，于是

对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am，

∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列．

综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．