函数导数与不等式解析几何数列型解答题二文档格式.docx
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∵sinB≠0,∴cosA=⇒A=.
(2)f(x)=sinxcosx+sinxsin=sinxcosx
+sin2x=sin2x+·
=+sin2x-
cos2x=+sin.
∵|x|≤A,A=,∴-≤x≤⇒-π≤2x-≤.
∴-1≤sin≤⇒≤+sin≤.
∴函数f(x)的值域为[,].
2.(12分)(2011·
正定)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°
,BF=FC,H为BC的中点.
(1)求证:
FH∥平面EDB;
(2)求证:
AC⊥平面EDB;
(3)求四面体B—DEF的体积.
分析:
本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直、体积的计算等基础知识,同时考查空间想象能力与推理论证能力.
(1)证明:
设AC与BD交于点G,则G为AC的中点.连接EG、GH,由于H为BC的中点,
故GH綊AB.
又EF綊AB,∴EF綊GH,
∴四边形EFHG为平行四边形,
∴EG∥FH,而EG⊂平面EDB,∴FH∥平面EDB.
(2)证明:
由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC.
又EF∥AB,∴EF⊥BC.而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH,
∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABCD.
∴FH⊥AC.又FH∥EG,∴AC⊥EG.又AC⊥BD,EG∩BD=G,
∴AC⊥平面EDB.
(3)∵EF⊥FB,∠BFC=90°
,∴BF⊥平面CDEF.
∴BF为四面体B-DEF的高.
∵BC=AB=2,∴BF=FC=.又EF=1,
∴VB-DEF=×
×
1×
=.
3.(12分)(2011·
预测题)小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,,,且每个问题回答正确与否相互独立.
(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;
(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.
(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1,
则P1=2=.
(2)X的取值为0,1000,3000,6000,
则P(X=0)=+×
=,
P(X=1000)=2=,
P(X=3000)
=22=,
P(X=6000)
∴X的概率分布列为
X
1000
3000
6000
P
∴X的数学期望E(X)=0×
+1000×
+3000×
+6000×
=2160.
4.(12分)(2011·
天津卷)已知a>
0,函数f(x)=lnx-ax2,x>
0.(f(x)的图象连续不断)
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当a=时,证明:
存在x0∈(2,+∞),使f(x0)=f;
(3)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β-α≥1,使f(α)=f(β),证明:
≤a≤.
本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识,考查运算能力、分类讨论的思想、分析解决问题的能力.
(1)f′(x)=-2ax=,x∈(0,+∞).令f′(x)=0,解得x=.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x
f′(x)
+
-
f(x)
极大值
所以,f(x)的单调递增区间是,f(x)的单调递减区间是.
当a=时,f(x)=lnx-x2,由
(1)知f(x)在(0,2)内单调递增,在(2,+∞)内单调递减.
令g(x)=f(x)-f.由于f(x)在(0,2)内单调递增,故f
(2)>
f,即g
(2)>
0.
取x′=e>
2,则g(x′)=<
所以存在x0∈(2,x′),使g(x0)=0,即存在x0∈(2,+∞),使f(x0)=f.(说明:
x′的取法不唯一,只要满足x′>
2,且g(x′)<
即可.)
(3)证明:
由f(α)=f(β)及
(1)的结论知α<
<
β,从而f(x)在[α,β]上的最小值为f(α),又由β-α≥1,α,β∈[1,3],知1≤α≤2≤β≤3.
故即
从而≤a≤.
5.(12分)已知椭圆+=1(a>
b>
0)的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且·
=4.求y0的值.
本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力.
(1)由e==,得3a2=4c2,
再由c2=a2-b2,得a=2b.
由题意可知×
2a×
2b=4,即ab=2.
解方程组得a=2,b=1.
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)由
(1)可知A(-2,0),设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2).
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去y并整理,得
(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.
由-2x1=,得
x1=,从而y1=.
设线段AB的中点为M,则M的坐标为
.
以下分两种情况:
①当k=0时,点B的坐标为(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,于是=(-2,-y0),=(2,-y0).由·
=4,得y0=±
2.
②当k≠0时,线段AB的垂直平分线的方程为
y-=-.
令x=0,解得y0=-.
由||=(-2,-y0),=(x1,y1-y0),
·
=-2x1-y0(y1-y0)
=+
==4,
整理得7k2=2,故k=±
,所以y0=±
综上,y0=±
2或y0=±
6.(12分)(2011·
湖北卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:
a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差数列,试判断:
对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2是否成等差数列,并证明你的结论.
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与一般的思想.
(1)由已知an+1=rSn,可得an+2=rSn+1,两式相减可得
an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1,即an+2=(r+1)an+1,又a2=ra1=ra,所以当r=0时,数列{an}为:
a,0,…,0,…;
当r≠0,r≠-1时,由已知a≠0,所以an≠0(n∈N*),
于是由an+2=(r+1)an+1,可得=r+1(n∈N*),
∴a2,a3,…,an,…成等比数列,
∴当n≥2时,an=r(r+1)n-2a.
综上,数列{an}的通项公式为an=
(2)对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差数列,证明如下:
当r=0时,由
(1)知,an=
∴对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差数列.
当r≠0,r≠-1时,∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2,Sk+1=Sk+ak+1.若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差数列,则Sk+1+Sk+2=2Sk,
∴2Sk+2ak+1+ak+2=2Sk,即ak+2=-2ak+1.
由
(1)知,a2,a3,…,am,…的公比r+1=-2,于是
对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1=-2am,从而am+2=4am,
∴am+1+am+2=2am,即am+1,am,am+2成等差数列.
综上,对于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差数列.