走向高考届高三数学人教A版一轮复习基础巩固强化第10章 第5节古典概型与几何概型Word格式文档下载.docx

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[答案]　A

[解析]　连续抛掷三次共有63＝216（种）情况，记三次点数分别为a、b、c，则a＋c＝2b，所以a＋c为偶数，则a、c的奇偶性相同，且a、c允许重复，一旦a、c确定，b也唯一确定，故a，c共有2×

32＝18（种），所以所求概率为＝，故选A．

（理）（2013·

皖南八校联考）一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（　　）

[答案]　C

[解析]　P＝＝.

3．（文）（2014·

河北衡水中学第五次调研）已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°

，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为（　　）

A．　B．1－

C．　D．1－

[解析]　如图，当点P落在图中阴影部分时，P到菱形的四个顶点A、B、C、D的距离都大于1，

∴P＝＝1－.

（理）（2014·

河北邯郸二模）甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是（　　）

A．　B．　

C．　D．

[解析]　第一种情况：

甲安排在第一天，则有A＝12种；

第二种情况：

甲安排在第二天，则有A＝6种；

第三种情况：

甲安排在第三天，则有A＝2种，所以所求概率为＝.

4．（文）点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<

1的概率为（　　）

C．　D．π

[解析]　

由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|<

1，根据几何概型可知，动点P到定点A的距离|PA|<

1的概率为＝，故选C．

石家庄质检）在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为（　　）

[解析]　如图，设圆的半径为r，圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为，设EF为与CD平行且到圆心O距离为的弦，交直径AB于点N，所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上移动，所以所求概率P＝＝，选C．

5．（2014·

石家庄市质检）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为（　　）

[解析]　方程x2－x＋a＝0无实根，则Δ＝1－4a<

0，

∴a>

，故所求概率P＝＝.

6．（文）（2013·

湖南）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝（　　）

A．　B．

[解析]　由题意知AB>

AD，如图，当点P与E（或F）重合时，△ABP中，AB＝BP（或AP），当点P在EF上运动时，总有AB>

AP，AB>

BP，由题中事件发生的概率为知，点P的分界点E、F恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2＝AF2＝（AB）2＋AD2，解得（）2＝，即＝，故选D．

武昌区联考）若从区间（0,2）内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为（　　）

[解析]　设这两个数分别为x，y，则由条件知0<

x<

2,0<

y<

2，y≥4x或x≥4y，则所求概率P＝＝.

二、填空题

7．（2014·

银川模拟）将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆（x－2）2＋y2＝2相交的概率为________．

[答案]　

[解析]　圆心（2,0）到直线ax－by＝0的距离d＝<

时，直线与圆相交，∴b>

a，满足b>

a的共有15种情况，因此直线ax－by＝0与圆（x－2）2＋y2＝2相交的概率为P＝＝.

8．在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．

[解析]　∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>

n.

由题意知，在矩形ABCD内任取一点P（m，n），求P点落在阴影部分的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，

∴p＝.

9．（文）在区间[－1,1]上随机取一个数k，则直线y＝k（x＋2）与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为________．

[解析]　∵直线与圆有公共点，∴≤1，

∴－≤k≤.故所求概率为P＝＝.

大连、沈阳联考）若利用计算机在区间（0,1）上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝2－有不等实数根的概率为________．

[解析]　方程x＝2－化为x2－2x＋2b＝0，

∵方程有两个不等实根，

∴Δ＝8a－8b>

0，∴a>

b，

如图可知，所求概率P＝.

三、解答题

10．（文）设平面向量am＝（m,1），bn＝（2，n），其中m、n∈{1,2,3,4}．

（1）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；

（2）记“使得am⊥（am－bn）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率．

[解析]　

（1）有序数组（m，n）的所有可能结果为：

（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）共16个．

（2）由am⊥（am－bn）得m2－2m＋1－n＝0，即n＝（m－1）2

由于m、n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为（2,1），（3,4），共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P（A）＝＝.

北京东城区统一检测）袋内装有6个球，这些球依次被编号为1、2、3、…、6，设编号为n的球重n2－6n＋12（单位：

g），这些球等可能地从袋里取出（不受重量、编号的影响）．

（1）从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；

（2）如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率．

[解析]　

（1）若编号为n的球的重量大于其编号，

则n2－6n＋12>

n，即n2－7n＋12>

0.

解得n<

3，或n>

4.

所以n＝1,2,5,6.

所以从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝＝.

（2）不放回地任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形为（不分取出的先后次序）：

1,2；

1,3；

1,4；

1,5；

1,6；

2,3；

2,4；

2,5；

2,6；

3,4；

3,5；

3,6；

4,5；

4,6；

5,6.

共有15种．

设编号分别为m与n（m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n）的球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有（m－n）（m＋n－6）＝0.

所以m＝n（舍去），或m＋n＝6.

满足m＋n＝6的情形为：

2,4，共2种．

故所求事件的概率为.

11．（文）（2014·

烟台模拟）在一个盒子中有编号为1,2的红色球2个，编号为1,2的白色球2个，现从盒子中摸出两个球，每个球摸到的概率相同，则摸出的两个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是（　　）

[解析]　设红色球为A1，A2，白色球为B1，B2，从中任取2个球，则所有不同的取法有：

（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（B1，B2），共6种不同取法，其中颜色不同且编号不同的情形有（A1，B2），（A2，B1）2种，∴所求概率P＝＝，故选C．

东营模拟）在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为（　　）

[答案]　B

[解析]　从6个顶点中任取4个顶点有C＝15种不同取法，其中能构成梯形的情形有6个，∴所求概率P＝＝.

12．（2013·

北京海淀期末）一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为（　　）

[解析]　先从4个位置中选一个排4，再从剩下位置中选一个排3，所有可能的排法有4×

3＝12种，满足要求的排法只有1种，∴所求概率为P＝.

13．（2014·

辽宁抚顺二中期中）在可行域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对（x，y）的概率是（　　）

[解析]　画出可行域如图所示，正方形内部面积为2，圆内部面积为，由几何概型的概率公式得P＝＝.

14．（文）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）

A．1－　B．－

[分析]　在扇形OAB内随机取一点，此点落在阴影部分的概率属于几何概型问题，关键是求阴影部分的面积，如图设阴影部分两块的面积分别为S1、S2，OA＝R，则S1＝2（S扇形DOC－S△DOC），S2＝S扇形OAB－S⊙D＋S1.

[解析]　设图中阴影面积分别为S1，S2，令OA＝R，

由图形知，S1＝2（S扇ODC－S△ODC）

＝2[－·

（）2]＝，

S2＝S扇形OAB－S⊙D＋S1

＝πR2－π·

（）2＋＝，

∴所求概率P＝＝＝1－.

[点评]　1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；

2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

（理）在区间（0,1）上任取两个数，则两个数之和小于的概率是（　　）

A．　B．　　

[解析]　设两数为x、y，则0<

1,0<

1，满足x＋y<

的点在图中阴影部分，

∴所求概率为P＝＝，故选C.

15．（2013·

南京模拟）在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P（m，n），则点P落在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．

[解析]　点P的取法有2×

3＝6种，

点P在圆内部，则m2＋n2<

9，

∴m＝2，n＝1或2.

∴所求概率P＝＝.

16．（2014·

河南南阳三联）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′