扬州二模江苏省扬州市届高三第二次模拟考试 数学 Word版含答案Word文档格式.docx

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8.已知α为锐角，且cos（α＋）＝，则cosα＝________．

9.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1a6＝3a3，且a4与a5的等差中项为2，则S5＝________．

10.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，O为上底面ABCD的中心．设正四棱柱ABCDA1B1C1D1与正四棱锥OA1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则＝________．

11.已知曲线C：

f（x）＝x3－x，直线l：

y＝ax－a，则“a＝－”是“直线l与曲线C相切”的____________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”）

12.已知x＞0，y＞0，则x＋＋的最小值为________．

13.已知点D为圆O：

x2＋y2＝4的弦MN的中点，点A的坐标为（1，0），且·

＝1，则·

的最小值为________．

14.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝设{an}的前n项和为Sn，若S4n≤λ·

2n－1恒成立，则实数λ的取值范围是________．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

在△ABC中，已知2S＝bccosA，其中S为△ABC的面积，a，b，c分别为角A，B，C的对边．

（1）求角A的值；

（2）若tanB＝，求sin2C的值．

16.（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝B1C，O为四边形ACC1A1对角线的交点，F为棱BB1的中点，且AF⊥平面BCC1B1.求证：

（1）OF∥平面ABC；

（2）四边形ACC1A1为矩形．

17.（本小题满分14分）

某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：

①三根细钢管长均为1米（粗细忽略不计），且与地面所成的角均为θ（≤θ≤）；

②架面与架底平行，且架面三角形ABC与架底三角形A1B1C1均为等边三角形；

③三根细钢管相交处的节点O分三根细钢管上、下两段之比均为2∶3.定义：

架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形A1B1C1的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”．

（1）当θ＝时，求“支架高度”；

（2）求“支架需要空间”的最大值．

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）过点（1，），且椭圆的离心率为.直线l：

y＝x＋t与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆E于C，D两点．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）求线段CD长的最大值；

（3）求·

的值．

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝a（x－）（a∈R），g（x）＝lnx.

（1）当a＝1时，解不等式：

f（x）－g（x）≤0；

（2）设u（x）＝xf（x）－g（x）．

①当a＜0时，若存在m，n∈（0，＋∞）（m≠n），使得u（m）＋u（n）＝0，求证：

mn＜1；

②当a＞0时，讨论u（x）的零点个数．

20.（本小题满分16分）

对数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an（n∈N*）．规定{Δ2an}为{an}的二阶差分数列，其中Δ2an＝Δan＋1－Δan（n∈N*）．

（1）已知数列{an}的通项公式an＝n2（n∈N*），试判断{Δan}，{Δ2an}是否为等差数列，请说明理由；

（2）若数列{bn}是公比为q的正项等比数列，且q≥2，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得Δ2bn＝bm，求q所有可能的取值构成的集合；

（3）设各项均为正数的数列{cn}的前n项和为Sn，且Δ2cn＝0.对满足m＋n＝2k，m≠n的任意正整数m，n，k，都有cm≠cn，且不等式Sm＋Sn＞tSk恒成立，求实数t的最大值.

2020届高三模拟考试试卷（十五）

数学附加题

（满分40分，考试时间30分钟）

21.（本小题满分10分）

已知矩阵M＝，M＝，且MN＝.

（1）求矩阵M；

（2）若直线l在矩阵M对应的变换作用下变为直线x＋3y＝0，求直线l的方程．

22.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C：

ρ＝2sin（θ－），求直线l被曲线C截得的弦长．

23.（本小题满分10分）

某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：

在一个不透明的口袋中装有编号为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m元（m为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×

2＝200元）．

（1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；

（2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X的概率分布与数学期望E（X）．

24.（本小题满分10分）

（1）求证：

C＝C（n∈N*，k∈N）；

（2）计算：

（－1）0C＋（－1）1C＋（－1）2C＋…＋（－1）2020C；

（3）计算：

（－1）kC.

2020届高三模拟考试试卷（扬州）

数学参考答案及评分标准

1.{x|0＜x＜2}　2.　3.30　4.15　5.－1　6.　7.2　8.　9.121

10.　11.充分不必要　12.4　13.－1　14.λ≥

15.解：

（1）因为2S＝bccosA，所以2×

bcsinA＝bccosA，则sinA＝cosA．（3分）

在△ABC中，因为A∈（0，π），所以sinA＝cosA＞0，

所以tanA＝1，（5分）

所以A＝.（7分）

（2）由

（1）知A＝，又tanB＝，

所以tan（A＋B）＝tan（＋B）＝＝＝－11.（9分）

在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，所以tanC＝－tan（A＋B）＝11，

所以sin2C＝2sinCcosC＝＝＝＝＝.（14分）

16.证明：

（1）取AC中点D，连结OD.

在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，BB1∥CC1∥AA1，且BB1＝AA1.

因为O为平行四边形ACC1A1对角线的交点，所以O为A1C的中点．

又D为AC的中点，所以OD∥AA1，且OD＝AA1.（2分）

又BB1∥AA1，BB1＝AA1，所以OD∥BB1，且OD＝BB1.

又F为BB1的中点，所以OD∥BF，且OD＝BF，所以四边形ODBF为平行四边形，所以OF∥BD.（5分）

因为BD⊂平面ABC，OF⊄平面ABC，

所以OF∥平面ABC.（7分）

（2）因为BC＝B1C，F为BB1的中点，所以CF⊥BB1.

因为AF⊥平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AF⊥BB1.（9分）

因为CF⊥BB1，AF⊥BB1，CF⊂平面AFC，AF⊂平面AFC，CF∩AF＝F，

所以BB1⊥平面AFC.（11分）

又AC⊂平面AFC，所以BB1⊥AC.

又由

（1）知BB1∥CC1，所以AC⊥CC1.

在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，

所以四边形ACC1A1为矩形．（14分）

17.解：

（1）因为架面与架底平行，且AA1与地面所成的角为，AA1＝1米，

所以“支架高度”h＝1×

sin＝（米）．（4分）

（2）过O作OO1⊥平面A1B1C1，垂足为O1.

又O1A1⊂平面A1B1C1，所以OO1⊥O1A1.

又AA1与地面所成的角为θ，所以O1A1＝cosθ.

同理O1C1＝O1B1＝cosθ，

所以O1为等边三角形A1B1C1的外心，也为其重心，

所以B1C1＝A1O1·

×

＝cosθ·

＝cosθ，

S△A1B1C1＝×

（cosθ）2＝cos2θ.

记“支架需要空间”为V，则V＝cos2θ·

sinθ，θ∈[，]．（8分）

令t＝sinθ，则t∈.

所以V＝（1－t2）t＝（t－t3），t∈.

又V′＝（1－3t2）＝－（t2－）＝－（t＋）（t－），

则当t∈（，）时，V′＞0，V单调递增；

当t∈（，）时，V′＜0，V单调递减，

所以当t＝时，Vmax＝[－（）3]＝×

＝（立方米）．（13分）

答：

（1）当θ＝时，“支架高度”为米；

（2）“支架需要空间”的最大值为立方米．（14分）

18.解：

（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），则e＝＝＝，可知a2＝2b2.（2分）

因为椭圆E过点（1，），

所以＋＝1，解得a2＝2，b2＝1，

所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．

由得3x2＋4tx＋2t2－2＝0.

又直线l：

y＝x＋t与椭圆E相交于A，B两点，

所以且Δ＝（4t）2－4×

3×

（2t2－2）＞0，则－＜t＜.（6分）

设AB的中点为M（xM，yM），则xM＝＝－t，yM＝xM＋t＝t，

所以AB的中垂线的方程为y＝－x－t，即直线CD的方程为y＝－x－t.

由得27x2＋12tx＋2t2－18＝0，则（8分）

所以CD＝＝·

＝·

.

又t∈（－，），所以当t＝0时，CDmax＝×

＝.（10分）

（3）由

（2）知·

＝（x3－x1，y3－y1）·

（x4－x1，y4－y1）

＝（x3－x1）（x4－x1）＋（y3－y1）（y4－y1）

＝（x3－x1）（x4－x1）＋（－x3－x1－t）（－x4－x1－t）

＝x3x4－（x3＋x4）x1＋x＋x3x4＋（x1＋t）（x3＋x4）＋x＋tx1＋t2

＝2x3x4＋t（x3＋x4）＋2x＋tx1＋t2.（13分）

又

所以·

＝2x3x4＋t（x3＋x4）＋（3x＋4tx1）＋t2

＝2×

＋t×

（－t）＋（2－2t2）＋t2

＝（－－＋）t2＝0.（16分）

19.

（1）解：

设h（x）＝f（x）－g（x）＝x－－lnx，

则h′（x）＝1＋－＝＝＞0，

所以h（x）在（0，＋∞）上递增．

又h

（1）＝0，所以0＜x＜1，所以f（x）－g（x）≤0的解集为（0，1）．（4分）

（2）①证明：

由u（m）＋u（n）＝0得a（m2－1）－lnm＋a（n2