学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 322 空间线面关系的判定导学案苏教版选修21docWord下载.docx

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上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与性质，要理解掌握。

三、数学运用

例1证明：

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（三垂线定理）

已知：

如图,OB是平面的斜线，O为斜足，，A为垂足，

求证：

变式：

写出三垂线定理的逆定理，并用向量的方法加以证明。

例2证明：

如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

（直线于平面垂直的判定定理）

，

例3在直三棱柱中，,,是得中点。

例4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。

（1）求证DE⊥D1F；

（2）求证：

平面AED⊥平面A1FD

四、课堂练习：

（1）棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？

（2）书P941，5

五、回顾总结

本课主要研究垂直问题

空间线面关系的判定

班级姓名学号

一、填空题

1、设是不重合的两个平面，的法向量分别是，直线l的方向向量是，若，则的位置关系是.

2、已知直线l与平面，若直线l的方向向量是，平面的法向量分别是，若，且，则l与的位置关系是.

3、设直线a,b的方向向量分别是，平面的法向量是，有下面命题：

①；

②；

③；

④

其中，正确命题的序号是.

4、已知向量为平面的法向量，点M（0,1,1）为平面内一定点，P（x,y,z）为平面内任意一点，则x,y,z所满足的方程为.

5、设点A（2,1,0），B是平面xOz内的点，若直线AB的方向向量是（3,－1,2），，则点B的坐标为.

6、若l的方向向量为（2,1,m），平面的法向量为，且，则m=.

7、若三个平面两两垂直，它们的法向量分别为，则x=,y=,z=.

二、解答题

8、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：

A1B⊥AC1.

9、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是AC与BD的交点，M是CC1的中点，求证：

A1O⊥平面MBD.

10、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点

（1）求证：

CD⊥PD；

（2）若EF⊥平面PCD，求PA的长.

2．能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。

用向量方法判断空间线面平行与垂直关系

一、复习引入

1、用向量研究空间线面关系，设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论

二、数学运用

例1如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且,求证：

平面

例2在正方体中,E,F分别是BB1,,CD中点，求证：

D1F平面ADE

例3如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,，

点E在PD上,且PE:

ED=2:

1.

试问：

在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?

证明你的结论.

该问为探索性问题，作为高考立体几何解答题的最后一问，用传统方法求解有相当难度，但使如果我们建立如图所示空间坐标系，借助空间向量研究该问题。

本题证明过程中，借助空间坐标系，运用共面向量定理，应用待定系数法，使问题的解决变得更方便，这种方法也更容易被学生掌握。

三．练习

在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出||；

若不存在，请说明理由.

四、回顾总结

综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直

1、设非零向量所在的直线为三条不同的直线，给出下列命题（其中），①若，则l1与l2平行；

②若，则l1,l2,l3共面；

③若l2,l3在同一平面内，且，则l1平行平面，其中，正确的命题个数为.

2、设平面的法向量为（1,1,－2），平面的法向量为（－2,－2,k），若，则k的

值为.

3、已知，则l的方向向量为（2,m,1），平面的法向量为，则m=.

4、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D和AC的公垂线，则直线PQ与BD1的关系是.

5、如图，已知矩形ABCD，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于.

6、在△ABC中，∠ACB=90°

，AB=8，∠ABC=60°

，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为.

二、填空题

7、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是线段A1D、AC上的点，且，M、N分别是线段BB1、DC的中点，求证：

（1）EF//BD1；

（2）EF⊥A1D；

（3）AM⊥平面A1D1N.

8、正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。

9、如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，

，E是PC的中点，作交PB于点F.

（1）证明平面；

（2）证明平面EFD；

10、如图，四棱锥P—ABCD的底面是一直角梯形，AB//CD，BA⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点

（1）证明：

BE//平面PAD；

（2）平面EBD是否垂直于平面ABCD？

请你叙述正确的理由.

空间的角的计算

能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题

异线角与线面角的计算

1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法

2、向量的夹角公式

1、法向量在求面面角中的应用：

原理：

一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。

2、法向量在求线面角中的应用：

设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。

例1在正方体中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。

例2在正方体中,F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小

例3在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°

，AC=2，BC=，SB=

SC⊥BC；

（2）求SC与AB所成角的余弦值

四、课堂练习

课本100页练习1－3

求异线角与线面角的方法

1、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为和A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是。

2、正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是。

3、已知ABC—A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°

，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值为。

4、若P是正三角形ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=2，△ABC边长为3，则PC和平面ABC的所成的角是。

5、已知OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60°

，求交线OA与平面OBC所成的角.

6、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M，N分别是A1A，B1B的中点，求直线CM与D1N所成的角.

7、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是CD的中点

EB1⊥AD1；

（2）求D1E与AC1所成的角；

（3）求EB1与平面AD1E所成的角.

8、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，M是A1B1的中点

是平面ABB1A1的一个法向量；

（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角.

9、直三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱，底面△ABC中，∠C=90°

，AC=BC=1，求直线A1B1与平面A1BC所成角的正弦值.

10、在棱长为1的正方体中ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、BD的中点，G在CD上，且CG＝CD/4，H为C1G的中点，

⑴求证：

EF⊥B1C；

⑵求EF与C1G所成角的余弦值；

⑶求FH的长。

能用向量方法解决二面角的计算问题

二面角的计算教学难点：

二面角的计算

1、二面角的定义及求解方法

2、平面的法向量的定义

利用向量求二面角的大小。

方法一：

转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：

要特别关注两个向量的方向）

如图：

二面角α-l-β的大小为θ，

A，B∈l，ACα，BDβ,AC⊥l，BD⊥l

则θ=<

>

=<

方法二：

先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。

已知二面角α-l-β，在α内取一点P，

过P作PO⊥β，及PA⊥l,连AO，

则AO⊥l成立，∠PAO就是二面角的平面角

用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO

求出∠PAO。

方法三：

转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。

如图

（1）P为二面角α-l-β内一点，作PA⊥α，

PB⊥β，则∠APB与二面角的平面角互补。

例1在正方体中,求二面角的大小。

例2已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：

（1）A1D与EF所成角的大小；

（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；

（3）二面角的大小。

例3已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF=1，M是线段EF的中点

AM//平面BED；

（2）求二面角A—DF—B的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°

.

四．课堂练习

1、P是二面角棱上的一点，分别在平面上引射线PM、PN。

如果∠BPM=∠BPN=45°

，∠MPN=6°

0，求二面角的大小.

书P100