初中奥数系列1111几何变换之轴对称题库学生版.docx

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初中奥数系列1111几何变换之轴对称题库学生版

中考要求

内容

基本要求

略高要求

较高要求

轴对称

了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称

能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形的轴对称性及其相关性质

能运用轴对称进行图案设计

例题精讲

轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.

如下图，是轴对称图形.

两个图形轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

如下图，与关于直线对称，叫做对称轴.和,和，和是对称点.

轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：

轴对称图形

两个图形轴对称

区别

图形的个数

1个图形

2个图形

对称轴的条数

一条或多条

只有1条

联系

二者都的关于对称轴对称的

对称轴的性质：

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

线段的垂直平分线：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

如图，直线经过线段的中点，并且垂直于线段，则直线就是线段的垂直平分线.

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

如图，点是线段垂直平分线上的点，则.

线段垂直平分线的判定：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

成轴对称的两个图形的对称轴的画法：

如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.

成轴对称的两个图形的主要性质：

①成轴对称的两个图形全等

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线

轴对称变换的方法应用：

轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．

轴对称变换应用时有下面两种情况：

（1）图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；

（2）图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．

板块一轴对称与轴对称图形的认识

【例1】下列“表情”中属于轴对称图形的是（　　）

【例2】下列图形中是轴对称图形的是（）

【例3】下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）

【例4】下列各种图形不是轴对称图形的是（）

【例5】下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？

请指出这个图形，并简述你的理由．

答：

图形__________；理由是__________．

【例6】下列交通标志中，不是轴对称图形的是（）

【例7】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.

【例8】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【例9】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．等腰三角形B．等腰梯形

C．正方形D．平行四边形

【例10】在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【例11】羊年话“羊”字象征着美好和吉祥，下列图案都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是（）

A．1；B．2；B．3；D．4

【例12】下列图形中，轴对称图形的个数是（）

A．B．C．D．

【例13】我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）

【例14】如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有（）

A．个B．个C．个D．个

【例15】正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．

【例16】下列图案中，有且只有三条对称轴的是（）

【例17】判断下列图形（图）是否为轴对称图形？

如果是，说出它有几条对称轴．

【例18】下列图形中，轴对称图形的是

【例19】下列图形中对称轴最多的是（）

A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段

【例20】作出下图所示的图形的对称轴：

【例21】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：

【例22】如图，直线是四边形的对称轴，若，有下面的结论：

①②③④，其中正确的结论有_______．

【例23】如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：

①②③④．其中正确的结论是_________．（把你认为正确的结论的序号都填上）

板块二轴对称的应用

【例24】如图，和关于直线对称，且，，求的度数和的长。

【例25】已知：

如图，在中，，，平行于轴，点的坐标是．

（1）画出关于轴对称的；

（2）求以点、、、为顶点的四边形的面积．

【例26】尺规：

把右图（实线部分）补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不用写作法、保留作图痕迹）．

板块三轴对称与折叠问题

【例27】如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打个洞，则纸片展开后是

【例28】如图所示，为的中线，，把沿对折，点落在点的位置，则和之间的数量关系为___________．

【例29】已知：

如图，在中，，是边上的高，为垂足，将折叠使点与点重合，则折痕的长为_________．

【例30】如图，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，如果，，求的长．

【例31】如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为（）

A．B．C．D．

【例32】如图，矩形纸片，，，沿对角线折叠（使和落在同一平面内），求和重叠部分的面积．

【例33】如图，在矩形中，，，点在线段上运动，设，现将纸片折叠，使点与点重合，得折痕（点、为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．

（1）当，折痕的长为；当点与点重合时，折痕的长为；

（2）求出当时四边形的周长；

温馨提示：

用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

【例34】如图，把矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．若、、，请写出、、之问的一个等量关系_________．

【例35】如图，中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则（）

A．B．C．D．

【例36】如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为．

板块四轴对称与几何中的最值问题

【例37】如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？

【例38】如图，在上找到、两点，且，在的左边，使四边形的周长最短。

【例39】如图，在等腰中，，的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小。

【例40】如图，，角内有点，在角的两边有两点、（均不同于点），求作、，使得的周长的最小。

【例41】如图，、为的边、上的两个定点，在上求一点，使的周长最短。

【例42】如图，菱形的两条对角线分别长6和8，点、分别是变、的中点，在对角线求作一点使得的值最小。

【例43】如图，设正的边长为2，是边上的中点，是边上的任意一点，的最大值和最小值分别记为和．求的值．

【例44】已知如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，使点到点的距离与点到的边的距离和最小。

【例45】已知：

、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最大。

【例46】如图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点，求的最小值与最大值．

【例47】如图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点，求的最小值与最大值．

【例48】如图，已知正方形的边长为8，在上，且，是上的一个动点，则的最小值是

【例49】在正方形中，在上，，，在上，求和的长度之和的最小值.

【例50】某供电部门准备在输电主干线上连接一个分支线路同时向新落成的、两个居民小区送电，分支点为，已知居民小区、到主干线的距离分别为千米，千米，且千米．

（1）居民小区、在主干线的两旁如图

（1）所示，那么分支点在什么地方时总线路最短？

最短线路的长度是多少千米？

（2）如果居民小区、在主干线的同旁，如图

（2）所示，那么分支点在什么地方时总线路最短？

此时分支点与距离多少千米？

五、线段的垂直平分线

【例51】求作线段的垂直平分线

【例52】已知：

、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最小。

【例53】已知：

如图，及两点、。

求作：

点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等。

【例54】在中，为边的中点，于点，交于点，求证：

．

【例55】如图，有一块三角形田地，，作的垂直平分线交于，交于，量得的周长为，请你替测量人员计算的长.

【例56】如图，中，边的垂直平分线交于，交于，厘米，的周长是18厘米，则等于多少厘米？

【例57】如图，已知，为的垂直平分线，求的度数。

【例58】如图，中，，为的平分线，，是的中点，求的度数。

【例59】已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；若不存在，请说明理由。

【例60】如图，，是公路（为东西走向）两旁的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，村在村的南偏东方向上．

（1）求出，两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点的位置（保留清晰的作图痕迹，简明书写作法）．