精品数学 高中数学人教A版选择性必修三第六章 621 排列Word格式.docx

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一、排列的概念

例1　判断下列问题是否为排列问题：

（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；

（2）选2个小组分别去植树和种菜；

（3）选2个小组去种菜；

（4）选10人组成一个学习小组；

（5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

（6）某班40名学生在假期相互打电话．

解　

（1）票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．

（2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．

（3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题．

（5）每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．

（6）A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．

所以在上述各题中

（2）（5）（6）是排列问题，

（1）（3）（4）不是排列问题．

反思感悟　判断一个具体问题是否为排列问题的思路

跟踪训练1　判断下列问题是否为排列问题：

（1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？

若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？

（2）从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？

可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1?

（3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？

可确定多少条射线？

解　

（1）第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．

（2）第一问不是排列问题，第二问是排列问题．

若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>

b，a，b的大小关系一定；

在双曲线－＝1中，不管a>

b还是a<

b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．

（3）确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．

二、画树形图写排列

例2　将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．

解　树形图（如图）：

由树形图知，所有排法有BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.

反思感悟　树形图的画法

（1）确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位．

（2）确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类．

（3）重复以上步骤，直到写完一个排列为止．

跟踪训练2　

（1）从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？

（2）写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．

解　

（1）由题意作树形图，如图．

故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．

（2）由题意作树形图，如图．

故所有的排列为：

abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．

三、简单的排列问题

例3　

（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（2）有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

解　

（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×

6×

5＝210（种）不同的送法．

（2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×

7×

7＝343（种）不同的送法．

反思感悟　对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解．

跟踪训练3　

（1）沪宁高铁线上有六个大站：

上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备不同的火车票的种数为（　　）

A．15B．30C．12D．36

答案　B

解析　对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）的一种排列，故不同的火车票有6×

5＝30（种）．

（2）3盆不同品种的花排成一排，共有________种不同的排法．

答案　6

解析　共有3×

2×

1＝6（种）不同的排法．

1．（多选）下面问题中，不是排列问题的是（　　）

A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数

B．从40人中选5人组成篮球队

C．从100人中选2人抽样调查

D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合

答案　BCD

解析　选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．

2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（　　）

A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲

B．甲乙丙、乙丙甲

C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙

D．甲乙、甲丙、乙丙

答案　C

解析　从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：

甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙．

3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（　　）

A．5B．10C．20D．60

解析　不同的送书种数为5×

4＝20.

4．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．

答案　24

5．有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有________种不同的种法．

答案　1680

解析　将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×

5＝1680（种）．

1．知识清单：

（1）排列的定义：

顺序性．

（2）“树形图”法列举排列．

（3）排列的简单应用．

2．方法归纳：

数形结合．

3．常见误区：

排列的定义不明确．

1．（多选）从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（　　）

A．加法B．减法C．乘法D．除法

答案　BD

解析　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.

2．某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为（　　）

A．20B．15C．10D．5

答案　A

解析　由题意得共需发起的聊天次数为5×

3．从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（　　）

A．2B．4C．12D．24

4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为（　　）

A．6B．4C．8D．10

解析　列树形图如下：

故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．

5．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（　　）

A．12种B．18种C．24种D．36种

解析　先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×

1＝6（种）不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×

1＝12（种）不同的排法．

6．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．

答案　12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed

解析　画出树形图如下：

可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.

7．车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________．

答案　60

解析　由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×

4×

3＝60（种）．

8．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．

答案　20

解析　从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5×

4＝20（种）添加方法．

9．写出下列问题的所有排列：

（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？

（2）两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？

解　

（1）列出每一个起点和终点情况，如图所示．

故符合题意的机票种类有：

北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．

（2）由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：

由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．

10．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：

（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？

（2）可以排出多少个不同的三位数？

解　

（1）三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一．

第一步，得首位数字，有6种不同结果；

第二步，得十位数字，有5种不同结果；

第三步，得个位数字，有4种不同结果．

故可得各位数字互不相同的三位数有6×

5×

4＝120（个）．

（2）三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数有6×

6＝216（个）．

11．由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为（　　）

A．9B．12C．15D．18

解析　本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：

由此可知共有12个符合题意的四位数．

12．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为（　　）

A．54B．45

C．5×

3×

2D．5

答案　D

解析　由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．