高考数学一轮复习热点难点专题17 导数法妙解不等式函数零点方程根的问题Word格式文档下载.docx

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（3）极值是一个局部概念。

由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。

并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。

而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。

（6）求函数的极值一定要列表。

2、用导数求函数的最值

（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：

①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；

②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。

应用举例

类型一、利用导数解决不等式恒成立问题

【例1】【广东省中山市第一中学2018届高三第一次统测】已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）设函数.若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.

（Ⅱ）因为.

令，即，解得，.

（1）当，即时，

由，得或；

由，得.

所以函数的增区间为，减区间为

（2）当，即时，

所以函数的增区间为，减区间为.

（3）当，即时，在上恒成立，所以函数的增区间为，无减区间.

综上所述：

当时，函数的增区间为，减区间为；

当时，函数的增区间为，无减区间.

类型二、利用导数解决存在型不等式成立问题

【例2】已知函数f（x）＝ln（x＋1）－－x，a∈R.

（1）当a>

0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若存在x>

0，使f（x）＋x＋1<

－（a∈Z）成立，求a的最小值．

【解析】

（1）f′（x）＝，x>

－1.

当a≥时，f′（x）≤0，∴f（x）在（－1，＋∞）上单调递减．

当0<

a<

时，

当－1<

x<

时，f′（x）<

0，f（x）单调递减；

当<

时，f′（x）>

0，f（x）单调递增；

当x>

0，f（x）单调递减．

综上，当a≥时，f（x）的单调递减区间为（－1，＋∞）；

时，f（x）的单调递减区间为，，

f（x）的单调递增区间为.

类型三、利用导数证明不等式

【例3】已知函数．

（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程；

（2）若函数f（x）在上为单调增函数，求a的取值范围；

（3）设m，n为正实数，且m>

n，求证：

．

（1）导函数为，由，解得并检验，再求得，切点为（1,0），由点斜式可求得切线方程。

（2）由题意可在上恒成立，所以在上恒成立，分离参数得，所以，。

（3）由于是多个变量，所以利用变形，换元变成一个变量，变形，为，即，所以只需证，设．求导可证h（x）>

0.

试题解析：

（1），由题意知，代入得，经检验，符合题意．

从而切线斜率，切点为（1,0），

∴切线方程为

（2），因为f（x）在上为单调增函数，

所以在上恒成立，即在上恒成立．

当时，由，得．

设，．

所以当且仅当，即x=1时，g（x）有最小值2．

所以，所以．

所以a的取值范围是．

（3）要证，只需证，即证，

只需证，设．

由

（2）知在上是单调增函数，又．

所以，

即成立，所以

类型四、利用导数研究方程的根或函数的零点

【例4】【2017安徽省合肥市高三模拟考试】设a>

1，函数f（x）＝（1＋x2）ex－a.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）证明：

f（x）在（－∞，＋∞）上仅有一个零点．

【例5】【2017贵州七校联考】函数f（x）＝（ax2＋x）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.

（1）当a＞0时，解不等式f（x）≤0；

（2）当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f（x）＝x＋2在[t，t＋1]上有解．

（1）因为ex＞0，所以不等式f（x）≤0即为ax2＋x≤0，

又因为a＞0，所以不等式可化为x≤0，

所以不等式f（x）≤0的解集为.

（2）当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex＞0，所以x＝0不是方程的解，

所以原方程等价于ex－－1＝0.令h（x）＝ex－－1，

因为h′（x）＝ex＋＞0对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）恒成立，

所以h（x）在（－∞，0）和（0，＋∞）内是单调递增函数，

又h

（1）＝e－3＜0，h

（2）＝e2－2＞0，h（－3）＝e－3－＜0，h（－2）＝e－2＞0，

所以方程f（x）＝x＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上，

所以整数t的所有值为{－3,1}．

点评：

利用导数研究方程根的方法

研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．

方法、规律归纳:

1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：

将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；

f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.

（2）函数思想法：

将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.

2.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.

实战演练:

1．【广东省汕头市金山中学2018届高三上学期期中考试】定义在内的连续可导函数满足，且对恒成立，则（）

A.B.

C.D.

【答案】D

2．【甘肃省天水三中2018届高三上学期第二次阶段检测考试】已知函数，若使得，则实数的取值范围是（　　）

A.（－∞，1]B.[1，＋∞）C.（－∞，2]D.[2，＋∞）

【答案】A

【解析】由题意得,因为函数在单独递减，所以

因此,选A.

点睛：

研究不等式恒成立或存在型问题，一般利用分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题,进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.

3．已知函数，，如果对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】C

4．【河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第二次考试】已知函数，若在定义域内恒成立，则的取值范围是（）

【解析】，即函数的定义域为，在上恒成立，即在上恒成立，令，，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，，，的取值范围是，故选C.

5．已知函数.

（1）若函数在点处的切线方程为，求的值；

（2）若，求函数在区间上的最小值；

（3）对任意的，都有，求正实数的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）见解析（3）.

（2），

令得（舍）或，

当时，在单调递减，在上单调递增

所以；

当时，在上单调递减，所以.

即有当时，；

当时，.

（3）对任意的，都有，

即为在递增．

因为，，在恒成立，

即有在恒成立，即有令，对称轴，，则判别式，

即，计算得出．则有的取值范围为.

6．已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若对，都有成立，求的取值范围；

（3）当时，求在上的最大值.

（1）

（2）（3）

⑴时，，，令，得，解得．

所以函数的单调增区间为．

⑵由题意对恒成立，因为时，，所以对恒成立．记，因为对恒成立，当且仅当时，所以在上是增函数，

所以，因此．

导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;

（3）若恒成立，可转化为.

7．已知函数在处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；

（3）若函数的两个零点为，试判断的正负，并说明理由.

（2）；

（3）结论是.

（2）不等式整理可得，

令，

所以，得，

当时，，函数在上单调递增，

同理，函数在上单调递减，所以，

综上所述，实数的取值范围是.

证明：

由题意知函数，所以，

易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可.

因为是函数的两个零点，所以，相减得，

不妨令，则，则，所以，，

所以，故只需证，即证，

因为，所以在上单调递增，所以，

综上所述，函数总满足成立.

8．已知函数，（为常数）.

（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值.

（2）若，且，证明：

.

（2）见解析.

（2）若，则，设，

则，，

，因为，所以，即单调递减，

又因为，所以，即单调递减，

而，所以，即.

利用导数证明不等式。

①证明f（x）<

g（x），x∈（a，b），可以构造函数F（x）＝f（x）－g（x），如果F′（x）<

0，则F（x）在（a，b）上是减函数，同时若F（a）≤0，由减函数的定义可知，x∈（a，b）时，有F（x）<

0，即证明了f（x）<

g（x）。

②证明f（x）>

g（x），x∈（a，b），可以构造函数F（x）＝f（x）－g（x），如果F′（x）>

0，则F（x）在（a，b）上是增函数，同时若F（a）≥0，由增函数的定义可知，x∈（a，b）时，有F（x）>

0，即证明了f（x）>

9．设函数

（Ⅰ）讨论的导函数零点个数;

（Ⅱ）证明:

当时,

（1）当时，无零点；

当时，有唯一零点，

（2）见解析.

10．【天津市滨海新区2017届高三上学期八校联考】设函数.

（1）求在点处的切线方程；

（3）当时，使得不等式能成立的实数的取值范围.

（1）

（2）在区间，上单调递增，在区间上单调递减.（3）