届浙江省杭州市高三第二次高考科目教学质量检测数学试题解析版Word文件下载.docx

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【解析】由题意，根据集合交集运算定义，解不等式组，可得，故选A.

2.设a∈R，若（1＋3i）（1＋ai）∈R（i是虚数单位），则a＝（）

A.3B.－3C.D.－

【答案】B

【解析】由题意，根据复数乘法的运算法则，得，结合条件，得，即，故正解答案为B.

3.二项式的展开式中x3项的系数是（）

A.80B.48C.－40D.－80

【答案】D

【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式得，，由，解得，则所求项的系数为，故正解答案为D.

4.设圆C1：

x2＋y2＝1与C2：

（x－2）2＋（y＋2）2＝1，则圆C1与C2的位置关系是（）

A.外离B.外切C.相交D.内含

【解析】由题意知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为两圆心距为，又，则，所以两圆的位置关系为相离，故正确答案为A.

点睛：

此题主要考查解析几何中圆的标准方程，两圆的位置关系，以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能，以属于中低档题型，也是常考考点.判断两圆的位置关系，有两种方法，一是代数法，联立两圆方程，消去其中一未知数，通过对所得方程的根决断，从而可得两圆关系；

一是几何法，通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较，从而可得两圆位置关系.

5.若实数x，y满足约束条件，设z＝x＋2y，则（）

A.z≤0B.0≤z≤5C.3≤z≤5D.z≥5

【解析】由题意，先作出约束条件的可行域图，如图所示，将目标函数转化为，作出其平行直线，将其在可行域范围内上下平移，则当平移至顶点时，截距取得最小值，即，故正确答案为D.

6.设a＞b＞0，e为自然对数的底数．若ab＝ba，则（）

A.ab＝e2B.ab＝C.ab＞e2D.ab＜e2

【答案】C

【解析】由题意，对等式两边取自然对数，，则，构造函数，则，由时，得，由，得，即当，有，又，且，则，所以，故选C.

7.已知0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下：

ξ

－1

0

1

P

34

14

－a

a

当a增大时，（）

A.E（ξ）增大，D（ξ）增大B.E（ξ）减小，D（ξ）增大

C.E（ξ）增大，D（ξ）减小D.E（ξ）减小，D（ξ）减小

【解析】由题意，得根据离散型随机变量的均值与方差的计算公式得，，则易当变大时，均值也随之增大，而与的差距也越大，故方差也增大，故正确答案为A.

8.已知a＞0且a≠1，则函数f（x）＝（x－a）2lnx（）

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，又无极小值

【解析】由题意，，由，得或，由方程，结合函数图象，易知此方程有解，根据函数单调性与极值关系，可知函数具有极大值，也有极小值，故选C.

9.记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin．若平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a•b＝c•（a＋2b－2c）＝2．则（）

A.|a－c|max＝B.|a＋c|max＝

C.|a－c|min＝√D.|a＋c|min＝

【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，不妨取，，则，设，由，得，即对应点在以圆心为，半径为的圆周上，则，故正确答案为A.

此题主要考查平面向量的模、数量积的坐标表示及运算，以及坐标法、圆的方程的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，需要根据条件，建立合理的平面直角坐标系，将向量关系转化为点位置关系，通对坐标运算，将其结果翻译为向量结论，从而问题可得解.

10.已知三棱锥S－ABC的底面ABC为正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC，SCA，SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则（）

A.α1＜α2B.α1＞α2

C.α2＜α3D.α2＞α3

【解析】由题意，设三角形的高分别为，三棱锥的高为，易知，根据正弦函数的定义得，，所以，又均为锐角，所以，故正确答案为A.

非选择题部分（共110分）

二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）

11.双曲线=1的渐近线方程是________，离心率是_______．

【答案】

（1）.

（2）.

【解析】由可得双曲线的渐近线方程是，

且双曲线中，.

12.设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝______，a5＝_______．

【答案】

（1）.3

（2）.162

13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．

【解析】由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为，

表面积为，从而问题可得解.

14.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝______；

当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．

【答案】

（1）.-

（2）.

【解析】由题意，根据正弦定理得，，设，根据余弦得，；

由，则，又，根据三角形面积公式得，从而问题可得解.

15.盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球（取出不放回），取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．

【答案】32

【解析】由题意，一次可以取球的个数为1，2，3，4，5，6个，则若一次取完可由1个6组成，有1种；

二次取完可由1与5，2与4，3与3组成共5种；

三次取完由1，1，4或1，2，3或2，2，2组成共10种；

四次取完有1，1，1，3或1，1，2，2组成共10种；

五次取完，由1，1，1，1，2个组成共5种；

六次取完由6个1组成共有1种，综上得，共有32种.

此题主要考查数学中计数原理在实际问题中的应用，属于中档题型，也是常考考点.计数原理是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解计数问题最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.

16.设函数f（x）（x∈R）满足|f（x）－x2|≤，|f（x）＋1－x2|≤，则f

（1）＝______．

【答案】

【解析】由，得，由，得，则当时，有，又，从而可知，从而问题可得解.

17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．

【答案】2

三、解答题：

（本大题共5小题，共74分）

18.已知函数f（x）＝

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）求函数y＝f（－x）的单调减区间．

（1）见解析;

（2）（＋2kπ，＋2kπ）（k∈Z）．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由已知，根据诱导公式，可将函数的解析式进行化简整理，再根据正弦函数周期的计算公式，可求出原函数的最小正周期，根据正弦函数的值域，可求出原函数的最大值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的解析式，根据正弦函数的单调减区间，从而问题可得解.

试题解析：

（Ⅰ）因为sin（x＋）＝cos（x－），

所以f（x）＝2sin（x＋）＝－2sin（x＋）．

所以函数f（x）的最小正周期是2π，最大值是2．

（Ⅱ）因为f（－x）＝2sin（x－），

所以单调递减区间为（＋2kπ，＋2kπ）（k∈Z）．

此题主要考查三角函数中诱导公式的应用，以及三角函数的最小正周期、单调区间、最值等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考考点.解决此类问题过程中，常需要通过诱导公式、三角恒等变换公式将函数解析式进行化归，即含一种三角函数名、一个角的解析式，再进行求解运算.

19.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°

，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD．

（Ⅰ）证明：

平面AMC′⊥平面ABD；

（Ⅱ）求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值．

（2）.

（Ⅰ）由题意，可根据面面垂直的判定定理进行求解，将问题转化为线面垂直，再转化为线线垂直，即先证，，则平面，从而问题可得解；

（Ⅱ）由题意，可作出所求线面角，再根据正弦函数值的定义进行求解，从而问题可得解，或可采用向量法进行求解亦可.

（Ⅰ）有题意知AM⊥BD，

又因为AC′⊥BD，

所以BD⊥平面AMC，

因为BD平面ABD，

所以平面AMC⊥平面ABD．

（Ⅱ）在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接FD．

由（Ⅰ）知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面所成的角．

设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝，MD＝2－，

DC＝DC′＝3－2，AD＝－．

在Rt△C′MD中，

＝9－4．

设AF＝x，在Rt△C′FA中，AC′2－AF2＝MC′2－MF2，

即4－x2＝（9－4）－（x－1）2，

解得，x＝2－2，即AF＝2－2．

所以C′F＝2．

故直线与平面所成的角的正弦值等于＝．

20.已知函数f（x）＝

（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；

（Ⅱ）证明：

f（x）＜（e为自然对数的底数）．

（1）;

（2）见解析.

（Ⅰ）由题意，根据函数导数的计算公式、法则进行运算，从而问题可得解；

（Ⅱ）由题意，可将不等式的证明转化为求函数的单调性、最值的问题，通过研究函数的单调性，求出函数的最值，再根据最值点的范围，从而问题可得解.

（I）．

（Ⅱ）设，

则函数g（x）在单调递减，且，，

所以存在，使g（x0）＝0，即，

所以x0＋1－（2x0＋1）lnx0＝0，

所以f′（x）＝0，且f（x）在区间（0，x0）单调递增，区间（x0，＋∞）单调递减．

所以f（x）≤f（x0）＝＝．

21.如图，过抛物线M：

y＝x2上一点A（点A不与原点O重合）作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心（三条中线的交点），直线CG交y轴于点D．

（Ⅰ）设A（x0，x02）（x0≠0），求直线AB的方程；

（Ⅱ）求的值．

（1）y＝2x0x－;

（Ⅰ）由题意，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再根据直线的点斜式进行运算求解，从而问题可得解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可根据切线的方程求线段的中点，联立直线与抛物线方程消去,根据韦达定理，可得点纵坐标的关系式，利用重心坐标性质建立关系式，从而求