微分中值定理及其应用(大学毕业论文).doc

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毕业论文（设计）

题目名称：

微分中值定理的推广及应用

题目类型：

理论研究型

学生姓名：

邓奇峰

院（系）：

信息与数学学院

专业班级：

数学10903班

指导教师：

熊骏

辅导教师：

熊骏

时间：

2012年12月至2013年6月

目录

毕业设计任务书 I

开题报告 II

指导老师审查意见 III

评阅老师评语 IV

答辩会议记录 V

中文摘要 VI

外文摘要 VII

1引言 1

2题目来源 1

3研究目的和意义 1

4国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 1

5微分中值定理的发展过程 2

6微分中值定理的基本内容 3

6.1罗尔（Rolle）中值定理 3

6.2拉格朗日（Lagrange）中值定理 4

6.3柯西（Cauchy）中值定理 4

6.4泰勒（Taylor）定理 4

7微分中值定理之间的联系 5

8微分中值定理的应用 5

8.1根的存在性证明 6

8.2利用微分中值定理求极限 8

8.3利用微分中值定理证明函数的连续性 9

8.4利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 10

8.5利用微分中值定理求近似值 10

8.6利用微分中值定理解决导数估值问题 10

8.7利用微分中值定理证明不等式 11

9微分中值定理的推广 14

9.1微分中值定理的推广定理 14

9.2微分中值定理的推广定理的应用 16

参考文献 18

致谢 19

微分中值定理的推广及应用

学生：

邓奇峰，信息与数学学院

指导老师：

熊骏，信息与数学学院

【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。

本文首先介绍了微分中值定理的发展过程、微分中值定理的内容和微分中值定理之间的内在联系，接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:

“讨论方程根（零点）的存在性”,“求极限”和“证明不等式”等方面的应用。

由于微分中值定理及有关命题的证明方法中往往出现的形式并非这三个定理中的某个直接结论，这就需要借助于一个适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转换，但是，怎样构造适当的辅助函数往往是比较困难的。

在此重点给出如何通过构造辅助函数来解决中值定理问题，从理论和实际的结合上阐明微分中值定理的重要性。

拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是罗尔中值定理的推广。

本文从其它角度归纳、推导了几个新的形式，拓宽了罗尔中值定理的使用范围。

同时，用若干实例说明了微分中值定理在导数极限、导数估值、方程根的存在性、不等式的证明、以及计算函数极限等方面的一些应用。

【关键词】微分中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理联系推广应用

VI

TheExtensionandApplicationoftheDifferentialMeanValueTheorem

Student:

DengQifeng,SchoolofInformationandMathematics

Tutor:

XiongJun,SchoolofInformationandMathematics

【Abstract】Thedifferentialmeanvaluetheorem,isthefundamentaltheoremofcalculus,isthecommunicationbridgebetweenfunctionanditsderivative,isanimportantmathematicaltoolintegratedlocalresearchapplicationfunctionderivative,playsaveryimportantroleinCalculus.Thispaperdescribesthedevelopprogress，thecontentsandtheintrinsiclinkbetweenthedifferentialmeanvaluetheorem;Thenlookatthedifferentialmeanvaluetheoreminsolvingproblems,suchas:

thediscussionoftheroots（zero）inexistence,limitandproofofinequality.

Becauseoftenproofofdifferentialmeanvaluetheoremandrelatedpropositionsintheformisnotthethreetheoremsofadirectconclusion,thisrequiresthehelpofasuitableauxiliaryfunction,equivalenttomathematicalproblems,but,howtoconstructtheauxiliaryfunctionappropriateisoftenmoredifficult.Thekeyishowtosolvetheproblemofmeanvaluetheorembyconstructinganauxiliaryfunction,expoundstheimportanceofthedifferentialmeanvaluetheoremfromthecombinationoftheoryandpractice.

TheLagrangemeanvaluetheoremandtheCauchymeanvaluetheoremareextensionsoftheRollemeanvaluetheorem.Inthisarticle,theRollemeanvaluetheoremhasbeenconcludedanddeducedinfewmoreformsthathelpedtoexpandtheuseoftheRollemeanvaluetheorem.Also,thearticlehasdemonstratedoftheapplicationofdifferentialmean　valuetheoreminderivativelimit,derivativeestimatevalue,existenceofrootofanequation,proofofinequalityandcalculationoffunctionallimituponmanyexamples.

【Keywords】Differentialmeanvaluetheorem;Rollemeanvaluetheorem;TheLagrangemeanvaluetheorem;theCauchymeanvaluetheorem;Contact;Promotion;Application

VII

微分中值定理的推广及应用

1引言

通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。

对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。

由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。

通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。

微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性,和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。

2题目来源

源于对微分中指定理的学习与兴趣，以及其在生活中各领域的重要应用。

3研究目的和意义

目的：

本课题的主要目的是帮助学生多角度地了解微分中值定理的证明及其相关应用。

意义：

微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，因而在微分学中占有很重要的地位。

通过微分学基本定理的介绍，揭示函数与其导数之间的关系，在知识结构和思想体系中，建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。

在各类大型考试中，微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考点，常以该定理的证明及应用出现，涉及一些理论分析和证明，还有在极值问题中的实际应用，因而对其进行较深层次的挖掘与探讨就显得很有必要。

4国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向

人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了。

1637年，著名法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。

教科书中通常将它称为费马定理。

1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理，1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。

以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。

此外，在极值问题中有重要的实际应用。

微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。

微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现。

特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇。

5微分中值定理的发展过程

微分中值定理是微分学的核心定理之一[1]。

微分中值定理是研究函数性态和函数性质的重要工具，它有着明显的物理意义和几何意义。

以拉格朗日中值定理为例，它表明“一个表示事物运动函数的曲线段，必定有一点的切线要平行于曲线段两个端点连接的弦”。

[2]所以人们十分重视微分中值定理及其应用的研究。

古希腊时代，人们就对微分中值定理的相关内容有了朦胧的认识。

公元前古希腊人就知道如下结论：

对于抛物线形成的弓形，过弓形顶点的切线一定平行于抛物线形成的弓形的底。

古希腊的著名数学家阿基米德（Archimedes，公元前287——前221）也据此研究出：

对于任意抛物线形成的弓形的面积都可以求出来。

意大利著名数学家卡瓦列里（Cavalieri，公元1598——公元1674，）在《不可分

量几何学》（1635年出版）中给出的引理3有如下几何观点：

曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦[3]。

1637年，法国大数学家费马（Fermat，公元1601一公元1665）在《求最大值和最小值的方法》中推导出一个定理，在大多数高等数学教材中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理——费马定理，常被用来