高三数学理科新课数学归纳法及其应用举例人教版文档格式.docx

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（1）当时，左边

右边

猜想成立。

（2）假设当时，猜想成立，即

那么，当时

所以当时猜想也成立。

[例3]用数学归纳法证明：

（）能被64整除。

（1）当时，能被64整除，假设，能被64整除。

（2）当时，

∵与64均能被64整除

∴及也能被64整除，所以时，命题成立，由

（1）

（2）可知时，命题成立。

[例4]平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：

这条直线把平面分割成个区域。

（1）当时，一条直线把平面分成两个区域，又，所以时命题成立。

（2）假设时，命题成立，即条满足题意的直线把平面分割成了个区域，那么当时，条直线中的条把平面分成了个区域。

第条直线被这条直线分成部分，每部分把它们所在的区域分成了两块，因此增加了个区域，所以条直线把平面分成了

个区域，所以时命题也成立，根据

（1）、

（2）知，对一切的，此命题均成立。

[例5]数列的通项公式，设，试求的值，推导出的公式，并证明。

，

猜想：

，证明如下：

（1）当时，公式成立

（2）假设时成立，即

那么

由

（1）

（2）可知，对任何都成立。

[例6]对一切大于1的自然数，证明：

（1）当时，

（2）假设时命题成立，即，那么当时，，只需证明，只要证明，此式显然成立。

故当时，不等式仍然成立。

由

（1）

（2）知，对一切（）不等式均成立。

[例7]是否存在常数，使等式对一切自然数都成立，并证明你的结论。

解：

令，得，令，得，整理得，解得。

下面用数学归纳法证明等式：

=

①当时，等式成立。

②假设时，等式成立，即。

则当时，。

这表明当时，等式成立。

由①②可知，等式对一切都成立。

[例8]某地区原有森林木材存量为，且每年增长率为25%，因为生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量。

（1）求的表达式；

（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？

若会，需要经过几年？

（取）

（1）依题意得：

；

由此猜想：

下面用数学归纳法进行证明：

①当时，，猜想成立。

②假设当时，猜想都成立，即，那么当时，，即当时，猜想仍成立。

由①、②可知，对任意的自然数猜想都成立。

（2）当时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于。

所以。

整理得。

两边取对数得。

所以经过8年该地区就开始水土流失。

【模拟试题】

一.选择：

1.用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是（）

A.B.C.D.

2.用数学归纳法证明“”，在验证时，左端计算所得的项为（）

A.B.C.D.

3.用数学归纳法证明：

（，且）时，第一步即证下列哪个不等式成立（）

A.B.C.D.

4.用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”的第二步应是（）

A.假设时正确，再推时正确

B.假设时正确，再推时正确

C.假设时正确，再推时正确

D.假设时正确，再推时正确

5.空间中有个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设个这样的平面把空间分成个区域，则个平面把空间分成的区域数（）

A.B.C.D.

6.用数学归纳法证明：

“（，且）”时，由（）不等式成立推证时不等式成立时，左边应增加的项数是（）

7.记凸边形的内角和为，则凸边形的内角和（）

8.在应用数归纳证明凸边形的对角线成为条时，第一步验证（）

A.1B.2C.3D.0

二.解答题：

1.用数学归纳法证明：

2.平面内有个圆，其中每两个圆都相交，每三个或三个以上的圆都不交于同一点，求证：

它们把平面分成个部分。

3.求证：

[参考答案]

/

一.

1.C2.C3.C4.B5.A6.C7.B8.C

二.

1.证明：

（1）当时，有左边，右边，左边=右边，所以等式成立。

（2）假设当时等式成立，即，当时，有。

所以时等式也成立。

由

（1）、

（2）知，等式对一切都成立。

2.证明：

（1）当时，1个圆把平面分成个部分，∴当时，命题成立。

（2）假设时，个圆将平面分成个部分，则当时，新增加的一个圆与前个圆有个交点，这些点把新圆周分成段，每段把它穿过的区域又分成两部分，因此增加了个部分，于是个圆将平面分成

个部分，即时，命题成立。

由

（1）、

（2）知命题对任何正整数均成立。

3.证明：

由于是与正整数有关的等式，因此可以用数学归纳法证明。

（1）当时，左边=1，右边，左边=右边，所以等式成立。

（2）假设当（）时等式成立。

即

当时，

即当时，等式成立，根据

（1）和

（2）可知，等式对任何都成立。

2019-2020年高三数学理科新课极限的四则运算，函数的连续性人教版

极限的四则运算，函数的连续性

1.函数在一点处连续

2.函数在开区间，闭区间上连续

3.连续函数的性质

（1）若与在处连续，则，，（）在处也连续。

（2）最大、最小值，若是[]上的连续函数，那么在上有最大值和最小值，最值可在端点处取得，也可以在内取得。

[例1]求下列极限

（1）

（2）

（3）

（4）

（1）原式

（2）原式

（3）原式

（4）原式

[例2]求下列各数列的极限

（1）

[例3]已知数列是正数构成的数列，，且满足，其中是大于1的整数，是正数。

（1）求的通项公式及前项和；

（2）求的值。

（1）由已知得∴是公比为的等比数列，则

①当时，原式

②当时，原式

③当时，原式

[例4]判定下列函数在给定点处是否连续。

（1）在处；

（2），在处。

（1），但

故函数在处不连续

（2）函数在处有定义，但

，即

故不存在，所以函数在点处不连续。

[例5]已知函数，试求：

（1）的定义域，并画出的图象；

（2）求，，；

（3）在哪些点处不连续。

（1）当，即时，

当时，不存在

当时，

当时，即或时，

∴

∴定义域为（）（），图象如图所示

（2）

∴不存在

（3）在及处不连续∵在处无意义

时，

即不存在∴在及处不连续

[例6]证明方程至少有一个小于1的正根。

令，则在（0，1）上连续，且当时，。

时，

∴在（0，1）内至少有一个，使

即：

至少有一个，满足且，所以方程至少有一个小于1的正根。

[例7]函数在区间（0，2）上是否连续？

在区间[0，2]上呢？

（且）

任取，则

∴在（0，2）内连续，但在处无定义

∴在处不连续，从而在[0，2]上不连续

[例8]假设，在上不连续，求的取值范围。

若函数，在上连续，由函数在点处连续的定义，必有，因为，

，所以，所以，若不连续，则且。

[例9]设

（1）若在处的极限存在，求的值；

（2）若在处连续，求的值。

（1），，因为在处极限存在，所以，所以，即

（2）因为在处连续，所以在处的极限存在，且

，由

（1）知，且，又，所以。

一.选择题：

1.已知，则下列结论正确的是（）

A.B.不存在C.=1D.=

2.的值为（）

A.5B.4C.7D.0

3.的值为（）

A.1B.0C.D.

4.的值为（）

A.B.C.1D.

5.若，则的取值范围是（）

6.若在上处处连续，则常数等于（）

A.0B.1C.2D.

7.在点处连续是在点处连续的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.的不连续点是（）

A.无不连续点B.C.D.

1.求下列极限：

（1）

（2）（3）

2.为常数，1，求。

3.已知

（1）在处是否连续？

说明理由；

（2）讨论在和上的连续性。

1.B2.C3.C4.B5.C6.C7.A8.D

1.解：

①当时，∴

②当时，∴

③当时，

2.解：

∵

∴∴，

3.解：

（1）∵，则∴

∵，且∴

∴不存在∴在处不连续

（2）∵∴在上是不连续函数

∵∴在上是连续函数。

坚强地百折不挠地挺住，这就是成功的秘密。