椭圆及其标准方程教案设计Word文档格式.docx
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通过对椭圆标准方程的推导,是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,并渗透数结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标解决几何问题的能力。
(三)情感态度、价值观
通过主动探究、合作学习,相互交流,对知识的归纳总结,感受探索的乐趣与成功的喜悦,增强学生学习的信心。
四、教学重点和难点
重点:
椭圆定义的形成和标准方程的推导。
难点:
椭圆标准方程的推导和化简。
关键点:
抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节。
教学方法:
主要采用探究实践、启发与讲练相结合
五、教学基本流程
(一)动手实验,亲身体会
阅读教材第43页探究1的内容,按着步骤动手画图(教师巡视指导,展示学生成果)
思考1:
作图过程中要注意观察椭圆的几何特征,即椭圆上的点要满足怎样的几何条件?
思考2:
如果调整细绳两端的相对位置,细绳的长度不变,猜想椭圆会发生怎样的变化?
师:
同学们,看到老师写的标题,大家想知道什么呢?
生:
椭圆。
(有些会说是标准方程,这时老师:
是什么的标准方程呢,椭圆)。
椭圆椭圆,从字面来看,同学们会想到什么图形呢?
大家对圆应该不那么陌生吧。
请大家告诉我:
圆的定义是什么?
平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。
那么,大家想想,画圆的时候我们有什么工具呢?
师生:
圆规。
那画椭圆呢,(稍停顿)有没有椭圆规呢。
没有椭圆规,还没发明。
不用椭圆规,这里老师有一个办法可以画出椭圆,请同学们把课前准备的绳子拿出来。
并翻到课本23页,按着探究1的步骤动手画一画,待会同学们在画图的过程中,要认真观察你画出来的是什么图形,图形上的点要满足什么条件?
下面同桌两个人一组,动动手。
(教师巡视)两个同学,一个同学把绳子的两端固定好,另一个同学用笔尖把绳子拉紧并在纸上慢慢地移动。
好,这个小组已经画好了,她们画出来的是什么图形呢?
师、生:
是一个椭圆。
还有哪个小组来展示一下自己的成果。
.....好,大家一起来看看,她们画出的是什么图形?
为什么会出现这种现象呢?
(二)分析实验,得出规律
活动:
教师用多媒体演示画图的整个过程,之后与学生探讨在华椭圆的过程中能得到什么规律。
(1)在画出一个椭圆的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动的?
(2)在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?
说明了什么?
(3)在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系?
(4)改变绳子长度与两定点距离的大小,轨迹又是什么?
学生总结规律:
轨迹为椭圆;
轨迹为线段;
轨迹不存在。
【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义,而是设计一个实验,一来是为了给学生一个动手实验的机会,让学生体会椭圆上点的运动规律;
二是通过实践思考,为进一步上升到理论做准备。
刚才在画图的过程中,我们发现这两个点(F1、F2)是固定的还是移动的?
固定的。
在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?
没有变,到两个定点、的距离之和等于常数。
我们可以另它为2a。
我想找一位同学来当我的助手,同学们要认真观察我们画出来的是什么图形。
当定长>
两定点距离的时候会画出来什么图形呢?
一个椭圆。
(板书:
椭圆)
那如果改变两定点距离的大小,轨迹又是什么呢?
一条线段。
线段)
很好,如果绳子的长度<
两定点距离的时候又会画出怎么样的图形呢?
画不出。
轨迹不存在)
(三)总结归纳,形成概念
定义:
平面内,到两个定点、的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。
【设计意图】通过学生观察、思考、讨论,概括出椭圆的定义,让学生全程参与概念的探究过程,加深理解,提高概括能力和数学语言的表达能力。
结合圆的定义,现在我们能否给出椭圆一个完整的定义呢?
谁来说说?
***同学,你来说说。
呃,概括得非常好,那么在这个定义中,我们要特别注意的是哪些地方呢?
(教师一步一步地给以引导)刚才我们说在木板上画图,板是一个平面,那我们来看看,如果不是在平面的话会画出怎么样的图形呢?
像一个鸡蛋的椭球吧?
椭圆是平面图形,所以要加“在平面上”这几个字。
要画成椭圆,这里的定长要.......。
大于两定点的距离。
对于这句话,我们能否用数学语言来描述一下呢?
也就是用数学符号来表示。
|MF1|+|MF2|=2a
在必修一我们已经学习了集合,那我们该如何用集合的语言来表示椭圆的定义呢?
P={M||MF1|+|MF2|=2a}教师板书
对啦,我们得到的椭圆的定义就是:
这里呢,我们把F1和F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离我们叫焦距。
用2c来表示。
好了,以前我们学习了圆的定义之后,我们还要求出椭圆的标准方程,那这里我们已经得到了椭圆的定义了,接下来我们还要做什么呢?
(指着标题提问)对,求椭圆的标准方程。
(四)合理建系,推导方程
回顾:
前面讲过圆的标准方程及其求圆的标准方程的步骤。
问题1:
请同学们回顾一下求圆的标准方程的基本步骤有哪些?
建系;
设点;
列式;
化简。
学生通过回忆后,由他们来回答,不正确的教师给予纠正。
问题2:
如何选取坐标系?
问题3:
如何化简方程?
下面同学们思考一个问题:
我们学习过圆的方程,大家一起来回顾一下求圆的方程的基本步骤有哪些?
学生2:
建立直角坐标系、设点、寻找等量关系列出方程、化简方程、检验。
教师:
很好。
接下来我用这个步骤来求出椭圆的标准方程,首先是建立直角坐标系,诶,问题来了,我们该如何选取坐标系呢,那么就请同学们互相讨论一下,看看到底应该怎样建立直角坐标系,才能使我们接下来的化简比较加容易呢?
待会我请几个同学来回答。
哪位同学能和大家说说,***,你是怎么想的呢?
学生1:
把F1、F2建在x轴上,以F1、F2的中点为原点。
很好,请坐!
其他同学,还有不同的观点吗?
把F1、F2建在x轴上,以F1为原点。
好,刚才这几位同学是这么想的,那我们一起来对比一下到底哪种方法比较好呢?
方案一。
为什么呢?
***同学,你赞成哪种方案呢?
(学生回答方案一后),你能具体说说为什么吗?
用到椭圆的对称性。
哦......这里就涉及到了数学美的问题,我们要充分利用图形的对称性以及简洁性。
这样的图形看起来就比较和谐了。
【设计意图】在学生复习圆的方程的建立过程的基础上,让学生讨论思考如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程,我想学生通过这些活动能够建立几种常见的坐标系,并列出相应的代数方程。
我认为这样有利于培养学生的动手实验,分析比较,相互协作等能力。
让学生体验到知识的产生过程。
好,建立了坐标系后,下一步我们要做什么?
设点。
在椭圆上任意取一个点,它的坐标可以设为(x,y),我们也可以把F1和F2的坐标写出来。
接下来(与学生一起说)我们要干什么呢?
寻找等量关系,椭圆上的点要满足的条件是?
MF1+MF2=2a
接下来,列出方程,同学们动动手跟老师一起写一写,.......诶,我们发现得到这样一个式子后,,大部分学生就不会往下做了。
还有极少数同学知道通过两边同时平方去根号,但是化简了一步,就无法再进行下去了,过程太复杂了。
【设计意图】我选择放手让学生化简,让学生体验化简方程的艰辛,同时注意化简的技巧,注意考虑问题要有多种视角,不要一条胡同走到黑。
教师:
(提示)显然两边直接平方的效果并不好,那是否有更好的方法呢?
可以尝试将根式中的一项移项后,再平方。
好,请同学们继续化简。
求椭圆的标准方程:
设为椭圆上的任意一点,设MF1+MF2=2a,F1F2=2c,(m>
n>
0)
则、.
由MF1+MF2=2a得
移项得
平方得
整理得
再平方得
再整理得
如果我们把点M放到特殊的位置Y轴上设为M1,连接M1F1和M1F2之后发现ΔM1F1F2是一个等腰三角形,所以这里M1F1=a,M1F2=a,OF2=c,在直角ΔM1OF2中,我们再来看一下这个式子,看到a2-c2就可以联想到什么呢?
勾股定理。
所以说,这里可以令b2=a2-c2。
好了,我们可以对这个式子再进行进一步的化简,请同学们观察一下的系数之间有什么关系?
学生:
它们的乘积刚好等于右边的常数。
同学们的观察还是非常仔细的。
好,所以,我们可以对等式两边同时除以。
就可以得到这就是焦点在轴上的椭圆的标准方程。
刚才在建立直角坐标系时,我发现有些同学把F1、F2建在y轴上,以F1F2的中点为原点,那这样也充分利用了椭圆的对称性和简洁性,为什么我们不选择它呢?
(稍停顿)其实这样也是可以的,我们只是把x轴和y轴对换了一下,那我们求出的椭圆的标准方程应该是。
那这里的椭圆焦点就不在x轴上了,焦点在y轴上。
焦点在y轴上得出的方程同学们课后自己去验证一下。
请同学思考:
这里的大小关系如何?
对比着两个方程和焦点的位置,考虑一下它们的大小与焦点所在的位置有什么关系?
(指着直角三角形的各条边进行暗示)显然,,且焦点在轴上。
所以应该是哪个分母大,焦点就在哪个轴上。
【设计意图】让学生自己观察,分析,得出结论,这样不仅能够使他们树立起对自己的信心,更重要的是在潜移默化中,使他们解决数学问题的能力得到了提高。
(五)归纳概括,掌握特征.
(1)椭圆标准方程形式
(2)椭圆标准方程中三个参数,,的关系
(3)椭圆焦点的位置的确定。
下面我们来对比一下椭圆的两种标准方程,看看他们有什么相同点和不同点,首先我们来看看相同点吧。
(1)相同点
椭圆标准方程形式:
它们都是二元二次方程,左边是两个分式的平方和,右边是1;
椭圆标准方程中三个参数,,的关系:
;
椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.
(2)不同点
标准方程
图形
焦点坐标
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,c),F2(0,-c)
与坐标轴交点
A1(-a,0)A2(a,0)
B1(0,-b)B2(