重庆中考数学题位复习系统之反比例函数与几何综合Word格式.docx

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∴DE=3，FD=3

设OB=a

则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a）

∵点D、C在双曲线上

∴1×

（a+3）=5a

∴a=

∴点C坐标为（5，）

∴k=

故选：

C．

【点评】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．

例2（2018•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为（　　）

A．B．C．4D．5

【分析】根据题意，利用面积法求出AE，设出点B坐标，表示点A的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为k构造方程求k．

【解答】解：

设AC与BD、x轴分别交于点E、F．

由已知，A、B横坐标分别为1，4

∴BE=3

∵四边形ABCD为菱形，AC、BD为对角线

∴S菱形ABCD=4×

AE•BE=

∴AE=

设点B的坐标为（4，y），则A点坐标为（1，y+）

∵点A、B同在y=图象上

∴4y=1•（y+）

∴y=

∴B点坐标为（4，）

∴k=5

D．

【点评】本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与k之间的关系．

跟踪训练

1．（2015•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．2B．4C．2D．4

【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：

底乘高即可得出答案．

过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，

∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，

∴A，B横坐标分别为1，3，

∴AE=2，BE=2，

∴AB=2，

S菱形ABCD=底×

高=2×

2=4，

【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．

2．（2015•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°

，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（　　）

A．6B．﹣6C．12D．﹣12

【分析】首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC=60°

，顶点C的坐标为（m，3），可求得OC的长，又由菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，可求得OB的长，且∠AOB=30°

，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．

过点C作CE⊥x轴于点E，

∵顶点C的坐标为（m，3），

∴OE=﹣m，CE=3，

∵菱形ABOC中，∠BOC=60°

，

∴OB=OC==6，∠BOD=∠BOC=30°

∵DB⊥x轴，

∴DB=OB•tan30°

=6×

=2，

∴点D的坐标为：

（﹣6，2），

∵反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交D点，

∴k=xy=﹣12．

【点评】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求得点D的坐标是关键．

3．（2014•重庆）如图，反比例函数y=﹣在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为﹣1，﹣3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（　　）

A．8B．10C．12D．24

【分析】根据已知点横坐标得出其纵坐标，进而求出直线AB的解析式，求出直线AB与x轴横坐标交点，即可得出△AOC的面积．

∵反比例函数y=﹣在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为﹣1，﹣3，

∴x=﹣1，y=6；

x=﹣3，y=2，

∴A（﹣1，6），B（﹣3，2），

设直线AB的解析式为：

y=kx+b，则

解得：

则直线AB的解析式是：

y=2x+8，

∴y=0时，x=﹣4，

∴CO=4，

∴△AOC的面积为：

×

6×

4=12．

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，得出直线AB的解析式是解题关键．

4．（2014•重庆）如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，﹣2），则点F的坐标是（　　）

A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）

【分析】由A（m，2）得到正方形的边长为2，则BC=2，所以n=2+m，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2•m=（2+m），解得m=1，则E点坐标为（3，），然后利用待定系数法确定直线GF的解析式为y=x﹣2，再求y=0时对应自变量的值，从而得到点F的坐标．

∵正方形的顶点A（m，2），

∴正方形的边长为2，

∴BC=2，

而点E（n，），

∴n=2+m，即E点坐标为（2+m，），

∴k=2•m=（2+m），解得m=1，

∴E点坐标为（3，），

设直线GF的解析式为y=ax+b，

把E（3，），G（0，﹣2）代入得，解得，

∴直线GF的解析式为y=x﹣2，

当y=0时，x﹣2=0，解得x=，

∴点F的坐标为（，0）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：

反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．

5．（2013•重庆）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：

①△OCN≌△OAM；

②ON=MN；

③四边形DAMN与△MON面积相等；

④若∠MON=45°

，MN=2，则点C的坐标为（0，）．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S△ONC=S△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，而OC=OA，则NC=AM，在根据“SAS”可判断△OCN≌△OAM；

根据全等的性质得到ON=OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，无法确定△ONM为等边三角形，则ON≠MN；

根据S△OND=S△OAM=k和S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，即可得到S四边形DAMN=S△OMN；

作NE⊥OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE=x，则OM=ON=x，EM=x﹣x=（﹣1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2=2+，所以ON2=（x）2=4+2，易得△BMN为等腰直角三角形，得到BN=MN=，设正方形ABCO的边长为a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值为+1，从而得到C点坐标为（0，+1）．

∵点M、N都在y=的图象上，

∴S△ONC=S△OAM=k，即OC•NC=OA•AM，

∵四边形ABCO为正方形，

∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°

∴NC=AM，

∴△OCN≌△OAM，所以①正确；

∴ON=OM，

∵k的值不能确定，

∴∠MON的值不能确定，

∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，

∴ON≠MN，所以②错误；

∵S△OND=S△OAM=k，

而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，

∴四边形DAMN与△MON面积相等，所以③正确；

作NE⊥OM于E点，如图，

∵∠MON=45°

∴△ONE为等腰直角三角形，

∴NE=OE，

设NE=x，则ON=x，

∴OM=x，

∴EM=x﹣x=（﹣1）x，

在Rt△NEM中，MN=2，

∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（﹣1）x]2，

∴x2=2+，

∴ON2=（x）2=4+2，

∵CN=AM，CB=AB，

∴BN=BM，

∴△BMN为等腰直角三角形，

∴BN=MN=，

设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a﹣，

在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，

∴a2+（a﹣）2=4+2，解得a1=+1，a2=﹣1（舍去），

∴OC=+1，

∴C点坐标为（0，+1），所以④正确．

【点评】本题考查了反比例函数的综合题：

掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；

熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．

6.（2013•重庆）如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B、C均在第一象限，OA=2，∠AOC=60°

．点D在边AB上，将四边形OABC沿直线OD翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，且∠C′DB′=60°

．若某反比例函数的图象经过点B′，则这个反比例函数的解析式为　y=﹣　．

【分析】连接AC，求出△BAC是等边三角形，推出AC=AB，求出△DC′B′是等边三角形，推出C′D=B′D，得出CB=BD=B′C′，推出A和D重合，连接BB′交x轴于E，求出AB′=AB=2，∠B′AE=60°

，求出B′的坐标是（3，﹣），设经过点B′反比例函数的解析式是y=，代入求出即可．

连接AC，

∵四边形OABC是菱形，

∴CB=AB，∠CBA=∠AOC=60°

∴△BAC是等边三角形，

∴AC=AB，

∵将四边形OABC沿直线OD翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，

∴BD=B′D，CD=C′D，∠DB′C′=∠ABC=60°

∵∠B′DC′=60°

∴∠DC′B′=60°

∴△DC′B′是等边三角形，

∴C′D=B′D，

∴CB=BD=B′C′，

即A和D重合，

连接BB′交x轴于E，

则AB′=AB=2，∠B′AE=180°

﹣（180°

﹣60°

）=60°

在Rt△AB′E中，∠B′AE=60°

，AB′=2，

∴AE=1，B′E=，OE=2+1=3，

即B′的坐标是（3，﹣），

设经过点B′反比例函数的解析式是y=，

代入得：

k=﹣3，

即y=﹣，

故答案为：

y=﹣．

【点评】本题考查了折叠性质，菱形性质，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，有一定的难度．

7.如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于