海淀区学年第一学期期末高三数学理科试题文档格式.docx
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C．D．
7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有
A．72种B．54种C．36种D．18种
8．点在曲线：
上，若存在过的直线交曲线于点，交直线：
于点，满足或，则称点为“H点”，那么下列结论正确的是
A．曲线..上的所有点都是“H点”
B．曲线上仅有有限个点是“H点”
C．曲线上的所有点都不是“H点”
D．曲线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H点”
第II卷（共110分）
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9．若直线的参数方程为，则直线的斜率为_______________.
10．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y值为，
则输入的实数x值为________________.
11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何
体的表面积为__________________.
12．设关于的不等式的解集中整数的个数为，数列的前项和为，则的值为_______________________.
13．在区间上任取两个数，那么函数无零点的概率为_________.
14．考虑以下数列，：
①；
②；
③.
其中满足性质“对任意正整数，都成立”的数列有（写出满足条件的所有序号）；
若数列满足上述性质，且，，则的最小值为.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求的值.
16．（本小题满分13分）
某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；
第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：
第一空得分情况
第二空得分情况
得分
3
2
人数
198
802
698
302
（Ⅰ）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分；
（Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.
17．（本小题满分13分）
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点.
（Ⅰ）求证：
DE∥平面PFB；
（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积.
18.（本小题满分13分）
已知函数（其中）.
（Ⅱ）求函数的单调区间.
已知抛物线经过点A（2,1），过A作倾斜角互补的两条不同直线.
（Ⅰ）求抛物线的方程及准线方程；
（Ⅱ）当直线与抛物线相切时，求直线与抛物线所围成封闭区域的面积；
（Ⅲ）设直线分别交抛物线于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程.
20．（本小题满分14分）
给定项数为的数列，其中.
若存在一个正整数，若数列中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列是“k阶可重复数列”，
例如数列
因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”.
（Ⅰ）分别判断下列数列
①②
是否是“5阶可重复数列”？
如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为的数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是多少？
说明理由；
（III）假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（理）
参考答案及评分标准2010．1
说明：
合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号
1
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
B
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
9．10．11．12．1010013．14．②③;
28
三、解答题（本大题共6小题,共80分）
解：
（Ⅰ）由已知，，，
因为，
即，………………..1分
解得.………………..3分
由余弦定理可得:
………………..5分
所以.………………..7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）有,………………..9分
由于A是三角形的内角，
易知,………………..10分
所以………………..11分
.………………..13分
（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为，则由表中数据可得:
，……………….4分
据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.……………….5分
（Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，……………….7分
记“第一空答对”为事件，“第二空答对”为事件，则“第一空答错”为事件，“第二空答错”为事件.若要第一空得分不低于第二空得分，则发生或与同时发生，
……………….9分
故有：
.……………….12分
（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，
所以,所以，为平行四边形,……………….2分
得，……………….3分
又因为平面PFB，且平面PFB,……………….4分
所以DE∥平面PFB.……………….5分
（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA,DC,DP分
别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a,
可得如下点的坐标：
P（0,0,a）,F（1,0,0）,B（2,2,0）
则有：
……………….6分
因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的
一个法向量为，……………….7分
设平面PFB的一个法向量为，则可得
即
令x=1,得，所以.……………….9分
由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，所以得:
……………….10分
解得a=2.……………….11分
因为PD是四棱锥P-ABCD的高，
所以，其体积为.……………….13分
由，可得.……………….2分
（Ⅰ）因为函数在点处的切线为，得:
……………….4分
解得……………….5分
（Ⅱ）令，得…①……………….6分
当，即时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数的单调递增区间为和.……………….8分
当，即时，不等式①的解为或，
……………….10分
又因为，所以此时函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和.
.……………….12分
所以，当时，函数的单调递增区间为和；
当时，函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为和..……………….13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）由于A（2,1）在抛物线上，所以，即.……………….2分
故所求抛物线的方程为，其准线方程为.……………….3分
（Ⅱ）当直线与抛物线相切时，由，可知直线的斜率为1，其倾斜角为，所以直线的倾斜角为，故直线的斜率为，所以的方程为…….4分
将其代入抛物线的方程，得,解得,…….5分
所以直线与抛物线所围成封闭区域的面积为:
……………….8分
（Ⅲ）不妨设直线AB的方程为，……………….9分
由
得,……………….10分
易知该方程有一个根为2，所以另一个根为，
所以点B的坐标为,
同理可得C点坐标为,……………….11分
所以
……………….12分
线段BC的中点为，因为以BC为直径的圆与准线相切，
所以,由于，解得.…………….13分
此时，点B的坐标为，点C的坐标为，
直线BC的斜率为，
所以，BC的方程为，即.…….14分
（Ⅰ）记数列①为，因为与按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;
记数列②为，因为、、、、、没有完全相同的，所以不是“5阶可重复数列”.……………….3分
（Ⅱ）因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情形.若m＝11，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”；
若m＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；
则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列.所以，要使数列一定
是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11.……………….8分
（III）由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列的末项后再添加一项，则存在，
使得与按次序对应相等，或与按次序对应相等，
如果与不能按次序对应相等，那么必有，，使得、与按次序对应相等.
此时考虑和，其中必有两个相同，这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列是“5阶可重复数列”，这和题设中数列不是“5阶可重复数列”矛盾！
所以与按次序对应相等，从而
……………….14分
其它正确解法按相应步骤给分.
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