全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类无答案Word下载.docx
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五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
六、(10分)设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
七、(15分)已知满足,且,求函数项级数之和.
八、(10分)求时,与等价的无穷大量.
2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、(25分,每小题5分)
(1)设其中求
(2)求。
(3)设,求。
(4)设函数有二阶连续导数,,求。
(5)求直线与直线的距离。
二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且
且存在一点,使得。
三、(15分)设函数由参数方程所确定,其中具有二阶导数,曲线与在出相切,求函数。
四、(15分)设证明:
(1)当时,级数收敛;
(2)当且时,级数发散。
五、(15分)设是过原点、方向为,(其中的直线,均匀椭球
,其中(密度为1)绕旋转。
(1)求其转动惯量;
(2)求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。
六、(15分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数。
(1)设为正向闭曲线证明
(2)求函数;
(3)设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求。
2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一.计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)
(1).求;
(2).求;
(3)已知,求。
二.(本题10分)求方程的通解。
三.(本题15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且均不为0,证明:
存在唯一一组实数,使得。
四.(本题17分)设,其中,,为与的交线,求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五.(本题16分)已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分()取上侧,是S在点处的切平面,是原点到切平面的距离,表示S的正法向的方向余弦。
计算:
(2)
六.(本题12分)设f(x)是在内的可微函数,且,其中,任取实数,定义证明:
绝对收敛。
七.(本题15分)是否存在区间上的连续可微函数f(x),满足,
?
请说明理由。
第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、(本大题共5小题,每小题6分共30分)解答下列个体(要求写出要求写出重要步骤)
(1)求极限
(2)求通过直线的两个互相垂直的平面和,使其中一个平面过点。
(3)已知函数,且。
确定常数和,使函数满足方程
(4)设函数连续可微,,且在右半平面与路径无关,求。
(5)求极限
二、(本题10分)计算
三、求方程的近似解,精确到0.001.
四、(本题12分)设函数二阶可导,且,,,求,其中是曲线上点处的切线在轴上的截距。
五、(本题12分)求最小实数,使得满足的连续函数都有
六、(本题12分)设为连续函数,。
区域是由抛物面
和球面所围起来的部分。
定义三重积分
求的导数
七、(本题14分)设与为正项级数,证明:
(1)若,则级数收敛;
(2)若,且级数发散,则级数发散。
第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、解答下列各题(每小题6分共24分,要求写出重要步骤)
1.1.求极限.
2.证明广义积分不是绝对收敛的
3.设函数由确定,求的极值。
4.过曲线上的点A作切线,使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为,求点A的坐标。
二、(满分12)计算定积分
三、(满分12分)设在处存在二阶导数,且。
证明:
级数收敛。
四、(满分12分)设,证明
五、(满分14分)设是一个光滑封闭曲面,方向朝外。
给定第二型的曲面积分。
试确定曲面,使积分I的值最小,并求该最小值。
六、(满分14分)设,其中为常数,曲线C为椭圆,取正向。
求极限
七(满分14分)判断级数的敛散性,若收敛,求其和。
第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(共有5小题,每题6分,共30分)
1.已知和是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是____________________________________
2.设有曲面和平面。
则与平行的的切平面方程是_______________________________
3.设函数由方程所确定。
求_______________
4.设。
则______________________
5.已知。
则____________________
二、(本题12分)设为正整数,计算。
三、(本题14分)设函数在上有二阶导数,且有正常数使得。
证明:
对任意,有。
四、(本题14分)
(1)设一球缺高为,所在球半径为。
证明该球缺体积为。
球冠面积为;
(2)设球体被平面所截得小球缺为,记球冠为,方向指向球外。
求第二型曲面积分
五、(本题15分)设在上非负连续,严格单增,且存在,使得。
求
六、(本题15分)设。
第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题(每小题6分,共5小题,满分30分)
(1)极限.
(2)设函数由方程所决定,其中具有连续偏导数,且。
则.
(3)曲面在点的切平面与曲面所围区域的体积是.
(4)函数在的傅立叶级数在收敛的值是.
(3)设区间上的函数定义域为的,则的初等函数表达式是.
二、(12分)设是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程。
三、(12分)设在内二次可导,且存在常数,使得对于,有,则在内无穷次可导。
四、(14分)求幂级数的收敛域,及其和函数。
五、(16分)设函数在上连续,且。
试证:
(1)使
(2)使
五、(16分)设在上有连续的二阶偏导数,且。
若
。