高考圆锥曲线典型例题必考Word格式文档下载.docx
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【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；
求范围时，要特别注意椭圆定义（或性质）与不等式的联合使用，如|PF1|·
|PF2|≤（
）2，|PF1|≥a－c.【变式训练2】已知P是椭圆
＝1上的一点，Q，R分别是圆（x＋4）2＋y2＝
和圆
（x－4）2＋y2＝
上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是 .【解析】最小值为9.
题型三 有关椭圆的综合问题
【例3】
（2010全国新课标）设F1，F2分别是椭圆E：
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且
|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，－1）满足|PA|＝|PB|，求E的方程.
（1）
.（2
）为
【变式训练3】已知椭圆
＝1（a＞b＞0）的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若
＝e，则e的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】选B
题型思 有关椭圆与直线综合问题
【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C：
（a＞b＞0）的离心率为
，其左焦点到点P（2，1）的距离为
．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求
ABP的面积取最大时直线l的方程．
【变式训练4】【2012高考广东理20】
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
的离心率e=
，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线
：
mx+ny=1与圆O：
x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？
若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；
若不存在，请说明理由．
总结提高
1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上（即定位），还要确定a、b的值（即定量），若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）求解.
2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.
3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.
练习
1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆
的右焦点为
右准线为
，点
，线段
交
于点
，若
则
=（）
A.
B.2C.
D.3
选A
.2（2009浙江文）已知椭圆
的左焦点为
，右顶点为
在椭圆上，且
轴，直线
轴于点
．若
，则椭圆的离心率是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
3.（2009江西卷理）过椭圆
（
）的左焦点
作
轴的垂线交椭圆于点
，
为右焦点，若
，则椭圆的离心率为
A．
【答案】B
4.【2012高考新课标理4】设
是椭圆
的左、右焦点，
为直线
上一点，
是底角为
的等腰三角形，则
的离心率为（）
【答案】C
5【2012高考四川理15】椭圆
，直线
与椭圆相交于点
、
，当
的周长最大时，
的面积是____________。
【答案】3
6【2012高考江西理13】椭圆
的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。
若
成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【答案】
【例4】【解析】
（Ⅰ）：
．
（Ⅱ）易得直线OP的方程：
y＝
x，设A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）．其中y0＝
x0．
∴
设直线AB的方程为l：
y＝﹣
（m≠0），入椭圆：
．显然
．∴﹣
＜m＜
且m≠0．由上又有：
＝m，
∴|AB|＝
|
|＝
∵点P（2，1）到直线l的距离表示为：
∴S
ABP＝
d|AB|＝
|m＋2|
，当|m＋2|＝
，即m＝﹣3或m＝0（舍去）时，（S
ABP）max＝
此时直线l的方程y＝﹣
【变式训练4】【解析】
（1）设
由
，所以
设
上任意一点，则
当
时，当
时，
有最大值
，可得
不合题意
故椭圆
的方程为：
（2）
中，
当且仅当
时，点
到直线
的距离为
又
，此时点
。
9.2 双曲线
题型一 双曲线的定义与标准方程
【例1】已知动圆E与圆A：
（x＋4）2＋y2＝2外切，与圆B：
x－4）2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】
－
＝1（x≥
）.
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.
【变式训练1】P为双曲线
＝1的右支上一点，M，N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和
（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A.6B.7C.8D.9【解析】选D.
题型二 双曲线几何性质的运用
【例2】双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a,0），若C上存在一点P，使
＝0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】
（1，
【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.
【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是（ ）
A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1
C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1【解析】，故选C.
题型三 有关双曲线的综合问题
【例3】
（2010广东）已知双曲线
－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P（x1，y1），Q（x1，－y1）是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.
（1）轨迹E的方程为
＋y2＝1，x≠0且x≠±
.
（2）符合条件的h的值为
或
【变式训练3】双曲线
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于（ ）
A.1＋2
B.3＋2
C.4－2
D.5－2
【解析】故选D
1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.
2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|时，P的轨迹是双曲线；
当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线；
当
||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|时，P无轨迹.
3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：
（1）已知双曲线方程，求它的渐近线；
（2）求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y＝±
x，可将双曲线方程设为
＝λ（λ≠0），再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.
1、【2012高考山东理10】已知椭圆
的离心学率为
.双曲线
的渐近线与椭圆
有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆
的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
2．直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同两点，则k的取值范围是
A．（－
）B．（0，
）
C．（－
，0）D．（－
，－1）
3.【2012高考湖北理14】如图，双曲线
的两顶点为
，虚轴两端点为
，两焦点为
.若以
为直径的圆内切于菱形
，切点分别为
.则
（Ⅰ）双曲线的离心率
；
（Ⅱ）菱形
的面积
与矩形
的比值
.【答案】
【例3】由题意知|x1|＞
，A1（－
，0），A2（
，0），则有直线A1P的方程为y＝
（x＋
），①直线A2Q的方程为y＝
（x－
）.②方法一：
联立①②解得交点坐标为x＝
，y＝
，即x1＝
，y1＝
，③则x≠0，|x|＜
而点P（x1，y1）在双曲线
－y2＝1上，所以
－y
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为
方法二：
设点M（x，y）是A1P与A2Q的交点，①×
②得y2＝
（x2－2）.③
又点P（x1，y1）在双曲线上，因此
＝1，即y
－1.
代入③式整理得
＋y2＝1.
因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点（0,1）及A2（
，0）的直线l的方程为x＋
y－
＝0.
解方程组
得x＝
，y＝0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.
故轨迹E不过点（0,1）.同理轨迹E也不过点（0，－1）.
综上分析，轨迹E的方程为
（2）设过点H（0，h）的直线为y＝kx＋h（h＞1），
联立
＋y2＝1得（1＋2k2）x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4（1＋2k2）（2h2－2）＝0，得h2－1－2k2＝0
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