广东省华南师大附中学年高一下学期期末数学试题Word格式.docx
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11．已知正三棱锥，点，，，都在半径为的球面上，若，，两两互相垂直，则球心到截面的距离为（）
12．已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）
A．B．[,]
C．D．）
二、填空题
13．直线与直线之间的距离为______.
14．不论为何实数，直线恒过定点______.（请写出该定点坐标）
15．已知是圆内一点，则过点的最短弦所在直线方程是______.
16．如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻折至，若为线段的中点，则在翻折过程中，有下列命题：
①是定值；
②一定存在某个位置，使；
③若平面，则平面；
其中正确的是______.
三、解答题
17．已知中，，，.
（1）求直线的方程；
（2）求边上的高所在的直线方程.
18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，、为，的中点.
（1）求证：
平面；
（2）若平面平面，求证：
.
19．已知直线：
，过点且圆心在轴上的圆与轴相切.
（1）求圆的方程；
（2）求直线被圆截得的弦长.
20．如图，三棱柱中，四边形是菱形，四边形是矩形，，，，.
平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
21．已知关于直线对称，且圆心在轴上.
（1）求的标准方程；
（2）已知动点在直线上，过点引的两条切线、，切点分别为.
①记四边形的面积为，求的最小值；
②证明直线恒过定点.
22．已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足：
①函数在上是单调函数；
②函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”.
（1）判断函数，是否存在1级“理想区间”.若存在，请写出它的“理想区间”；
（只需直接写出结果）
（2）证明：
函数存在3级“理想区间”；
（）
（3）设函数，，若函数存在级“理想区间”，求的值.
参考答案
1．A
【解析】
A中几何体有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，是棱柱，故选A．
点睛：
棱柱、棱锥、棱台的结构特征：
棱柱：
有两个面互相平行，其余各个面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边都互相平行；
棱锥：
有一个面（即底面）是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形；
棱台：
用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分就是棱台．
2．B
【分析】
将直线方程化为斜截式,可得斜率,由斜率与倾斜角关系即可求得倾斜角.
【详解】
直线,化为斜截式可得
则斜率
由斜率与倾斜角关系可得
由
可得
故选:
B
【点睛】
本题考查了几种直线方程间的转化,直线斜率与倾斜角关系,属于基础题.
3．A
根据点斜式方程的写法可得直线方程,化为一般方程即可得直线的方程.
线经过点,且斜率为
由点斜式可得直线方程为
化为一般式可得
A
本题考查了点斜式方程的应用,点斜式与一般式方程的转化,属于基础题.
4．B
根据底面半径和母线,可以求得圆锥的高.由圆锥的体积公式即可求解.
圆锥的底面半径是3,母线长是5
则圆锥的高为
由圆锥的体积公式可得
本题考查了圆锥的结构特征,圆锥体积的求法,属于基础题.
5．C
根据两个圆的圆心距与半径关系,即可判断两个圆的位置关系.
圆与圆
所以圆心坐标为和;
圆的半径分别为和
圆心距为
而
由圆与圆的位置判断方法可知,两个圆内含
C
本题考查了由圆心距与半径关系判断圆与圆位置关系,属于基础题.
6．D
在平面直角坐标系中描出三个点,即可根据三角形面积公式求解.
将三个点的坐标描在平面直角坐标系中,如下图所示:
由图可知,三角形ABC为直角三角形
所以
D
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示,三角形面积求法,属于基础题.
7．A
因为D⊥底面ABCD，故可由三垂线定理法作出二面角的平面角，即∠AD，直接求解即可．
因为D⊥底面ABCD，又A⊥AB，∴A⊥AB，所以∠AD即为二面角﹣AB﹣D的平面角，因为∠AD＝45°
，所以二面角﹣AB﹣D的大小是45°
．
故选：
A．
本题考查二面角的作法和求解，考查空间想象能力和运算能力．
8．B
分析：
把直线化为直线的斜截式方程，分类讨论，即可作出判段．
详解：
由，整理得，
当时，，此时排除A；
又由，此时排除B；
当时，，此时排除D，故选B．
本题主要考查了直线方程的应用，把直线的方程整理为直线的斜截式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
9．D
根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,即可判断选项.
对于A,若,,,则由直线与平面位置关系必有,所以A正确;
对于B,若,,由直线与平面位置关系可得或,所以B正确;
对于C,若,,,由平面与平面的位置关系可知,所以C正确;
对于D,若,,则,或与相交都可能,所以D错误.
综上可知,错误的为D
本题考查了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断,对空间想象能力要求较高,属于基础题.
10．C
试题分析：
设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；
设正四棱锥的棱长为，则，所以
，故C为正确答案．
考点：
异面直线所成的角．
11．B
根据,,两两互相垂直可知,三棱锥的外接球即为以为棱长的正方体的外接球.由外接球半径即可求得正方体的棱长.进而利用等体积法求得点到平面的距离,即可求得球心到截面的距离.
正三棱锥中,,两两互相垂直
则三棱锥的外接球即为以为棱长的正方体的外接球
因为正三棱锥的外接球半径为
设正方体的棱长为
则
即
所以
则
设点到平面的距离为
由等体积法可知
即,代入可得
解得
则球心O到截面的距离为
本题考查了正三棱锥的结构特征,正方体的外球球求法,,球的结构特征及应用,属于中档题.
12．D
由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.
圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），
因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：
PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，
则：
，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.
直线过定点（0，－2），直线方程即，
只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，
即：
，解得：
，
即实数的取值范围是）.
本题选择D选项.
本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．；
根据直线方程可判断两条直线互相平行,由平行线间距离公式即可求解.
直线与直线平行
则由平行线间距离公式
代入即可求得
故答案为:
本题考查了平行线间距离公式的应用,属于基础题.
14．；
将直线方程变形,解方程组即可求得所过定点的坐标.
直线
变形可得
当满足时,不论为何实数,直线恒过定点
解方程组可得
所以不论为何实数,直线恒过定点的坐标为
本题考查了直线过定点的坐标求法,属于基础题.
15．；
将圆的方程化为标准方程.当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短.根据垂直关系,可得过点的最短弦所在直线方程的斜率,再由点斜式即可求得直线方程.
圆,化为标准方程可得
所以圆心为
由题意可知,在圆内
当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短.
过点的直径所在直线的斜率为
所以由两垂直直线的斜率乘积等于可知,过点与圆相交所得弦长最短的直线方程的斜率为
由点斜式可知
本题考查了直线与圆的性质,圆的几何性质的综合应用,垂径定理及其性质的应用,属于基础题.
16．①③
取中点,连接结合余弦定理即可证明①;
假设,可得线面垂直,根据线面垂直的性质可得矛盾,进而判断②;
可证明平面平面,即证明③.
根据题意,取中点,连接,如下图所示:
对于①,定值
由可知四边形为平行四边形,可得定值
且定值
所以在中,由余弦定理可知
定值
所以①正确.
对于②,当时,不存在满足成立的点.
因为当时,
所以,即
若此时,由
可知平面,则
与矩形中矛盾（过直线外一点,作已知直线的垂线有且只有一条）,所以②错误.
对于③,根据中位线定理可知
由矩形性质可知,所以
所以平面平面
即平面
所以③正确.
综上可知,正确的为①③
①③
本题考查了空间中点线面的位置关系,直线与平面平行和垂直的判定,对空间想象能力要求较高,属于难题.
17．
（1）；
（2）
（1）先根据两点间斜率公式求得,再由点斜式即可得到直线方程,化为一般式即可.
（2）根据垂直直线的斜率关系,可先求得的高所在直线的斜率,再由点斜式可得直线方程,化为一般式即可.
（1）中,,,
由两点间斜率公式可得,
所以直线的方程为,
即.
（2）设边上的高所在的直线为,
则由垂直直线的斜率乘积为可得,
所以的直线方程为,
∴边上的高所在的直线方程为:
本题考查了两点间斜率公式,两条垂直直线的斜率关系及点斜式方程的用法,不同方程间的转化,属于基础题.
18．
（1）证明见解析；
（2）证明见解析
（1）取中点,连接,.可证明四边形和为平行四边形,即可根据线面平行的判定定理证明.
（2）由题意可知,根据平面平面及交线为,再由平面即可证明.
（1）证明：
取中点,连接,.如下图所示,
∵,分别为和的中点,
∴,且.
∵四边形为平行四边形,且为的中点,
∴,,
∴,且,
∴四边形为平行四边形,
∴.
又平面,平面,
∴平面.
（2）证明:
∵,且为的中点,
∵平面平面,平面平面,
∵面,
本
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