高中数学人教A版精品习题选修22课时训练14 生活中的优化问题举例 Word含答案Word文档下载推荐.docx

高中数学人教A版精品习题选修22课时训练14 生活中的优化问题举例 Word含答案Word文档下载推荐.docx

《高中数学人教A版精品习题选修22课时训练14 生活中的优化问题举例 Word含答案Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版精品习题选修22课时训练14 生活中的优化问题举例 Word含答案Word文档下载推荐.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

例1　有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

解　

如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为xkm，则BC＝＝，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a（50－x）＋5a（0<

x<

50）．

∴y′＝－3a＋.令y′＝0，解得x＝30，（x＝－30舍去）

在（0,50）上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20（km）．

∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．

规律方法　用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．

跟踪演练1　一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？

解　设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·

v3，其中k为比例系数（k≠0），它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝＝0.006，于是有p＝0.006v3.

又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96（元），而航行1海里所需时间为小时，所以，航行1海里的总费用为：

q＝（0.006v3＋96）＝0.006v2＋.

q′＝0.012v－＝（v3－8000），

令q′＝0，解得v＝20.∵当v<

20时，q′<

0；

当v>

20时，q′>

0，

∴当v＝20时，q取得最小值，

即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．

要点二　面积、容积的最值问题

例2　如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：

cm），能使矩形广告面积最小？

解　设广告的高和宽分别为xcm，ycm，

则每栏的高和宽分别为x－20cm，cm，

其中x>

20，y>

25.

两栏面积之和为2（x－20）·

＝18000，

由此得y＝＋25.

广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，

∴S′＝＋25＝＋25.

令S′>

0得x>

140，令S′<

0得20<

140.

∴函数在（140，＋∞）上单调递增，在（20,140）上单调递减，∴S（x）的最小值为S（140）．

当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．

规律方法　

（1）解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

（2）利用导数解决生活中优化问题的一般步骤

①找关系：

分析实际问题中各量之间的关系；

②列模型：

列出实际问题的数学模型；

③写关系：

写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f（x）；

④求导：

求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0；

⑤比较：

比较函数在区间端点和使f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；

⑥结论：

根据比较值写出答案．

跟踪演练2　圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

如图，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

S＝2πRh＋2πR2，

由V＝πR2h，得h＝，

则S（R）＝2πR＋2πR2＝＋2πR2，

令S′（R）＝－＋4πR＝0，解得R＝，

从而h＝＝＝＝2，即h＝2R.

因为S（R）只有一个极值，所以它是最小值．

所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．

要点三　成本最省，利润最大问题

例3　甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：

可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b（b>

0）；

固定部分为a元．

（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

解　

（1）依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为

y＝a·

＋bv2·

＝s，

∴所求函数及其定义域为y＝s，v∈（0，c]

（2）由题意s、a、b、v均为正数．

y′＝s＝0得v＝.但v∈（0，c]．

①若≤c，则当v＝时，全程运输成本y最小；

②若>

c，则v∈（0，c]，

此时y′<

0，即y在（0，c]上为减函数．

所以当v＝c时，y最小．

综上可知，为使全程运输成本y最小，

当≤c时，行驶速度v＝；

当>

c时，行驶速度v＝c.

规律方法　正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：

①合理选择变量，正确给出函数关系式．

②与实际问题相联系．

③必要时注意分类讨论思想的应用．

跟踪演练3　已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q.求产量q为何值时，利润L最大？

解　收入R＝q·

p＝q＝25q－q2，

利润L＝R－C＝－（100＋4q）

＝－q2＋21q－100（0<

q<

200）

L′＝－q＋21

令L′＝0，即－q＋21＝0，求得唯一的极值点q＝84.

所以产量为84时，利润L最大．

1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：

℃）为f（x）＝x3－x2＋8（0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（　　）

A．8B．

C．－1D．－8

答案　C

解析　原油温度的瞬时变化率为f′（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1（0≤x≤5），所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.

2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为（　　）

A.B．

C．D．2

解析　设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V（x>

0）．∴S′＝（x3－4V）．令S′＝0，得x＝.

3．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？

最大容积是多少？

解　设箱底边长为xcm，则箱高h＝cm，箱子容积V（x）＝x2h＝（0＜x＜60）．

V′（x）＝60x－x2令V′（x）＝60x－x2＝0，

解得x＝0（舍去）或x＝40，并求得V（40）＝16000.

由题意知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值．

答　当x＝40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3.

4．统计表明：

某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/时）的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8（0<

x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？

最少为多少升？

解　当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，

依题意得h（x）＝×

＝x2＋－（0<

x≤120），

h′（x）＝－＝（0<

x≤120）．

令h′（x）＝0，得x＝80.

因为x∈（0,80）时，h′（x）<

0，h（x）是减函数；

x∈（80,120）时，h′（x）>

0，h（x）是增函数，

所以当x＝80时，h（x）取得极小值h（80）＝11.25（升）．

因为h（x）在（0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．

答　汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．

1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．

2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′（x）＝0，如果函数在该点取得极大（小）值，极值就是函数的最大（小）值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．

一、基础达标

1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为（　　）

A．4B．6

C．4.5D．8

答案　A

解析　设底面边长为x，高为h，

则V（x）＝x2·

h＝256，∴h＝，

∴S（x）＝x2＋4xh＝x2＋4x·

＝x2＋，

∴S′（x）＝2x－.

令S′（x）＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.

2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>

0）．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈（0,0.0486），若使银行获得最大收益，则x的取值为（　　）

A．0.0162B．0.0324

C．0.0243D．0.0486

答案　B

解析　依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈（0,0.0486）．

所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3（0<

0.0486），则y′＝0.0972kx－3kx2.

令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0（舍去）．

当0<

0.0324时，y′>

当0.0324<

0.0486时，y′<

0.

所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．

3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为（　　）

A.3πB．3π

C．3πD．3π

解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.

则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>

∴r＝是其唯一的极值点．

∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.

4．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°

角，再焊接成水箱，则水箱最大