深圳二模理数word0Word格式.docx
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5.甲,乙,丙三名运动员在某次测试中各射击20次,三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1,图2
17.(本小题满分12分)
为了评估天气对大运会的影响,制定相应预案,深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析,发现8月份是我市雷电天气高峰期,在31天中平均发生雷电14.57天(如图7).如果用频率作为概率的估计值,并假定每一天发生雷电的概率均相等,且相互独立.
(1)求在大运会开幕(8月12日)后的前3天比赛中,恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01);
(2)设大运会期间(8月12日至23日,共12天),发生雷电天气的天数为,求的数学期望和方差.
18.(本小题满分14分)
如图8,在直角梯形中,,,且.
现以为一边向形外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面
与平面互相垂直,如图9.
(1)求证:
平面平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的大小.
19.(本小题满分14分)
平面直角坐标系中,已知直线:
,定点,动点到直线的距离是到定点的距离的2倍.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若为轨迹上的点,以为圆心,长为半径作圆,若过点可作圆的两条切线,(,为切点),求四边形面积的最大值.
20.(本小题满分14分)
执行下面框图所描述的算法程序,记输出的一列数依次为,,…,,,.(注:
框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“:
”)
(1)若输入,写出输出结果;
(2)若输入,求数列的通项公式;
(3)若输入,令,求常数(),使得是等比数列.
21.(本小题满分14分)
已知函数满足如下条件:
当时,,且对任意,都有.
(1)求函数的图象在点处的切线方程;
(2)求当,时,函数的解析式;
(3)是否存在,,使得等式
成立?
若存在就求出(),若不存在,说明理由.
数学(理科)试题参考答案及评分标准
每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
二、填空题:
本大题共7小题,每小题5分,满分30分.第9~13题为必做题,第14、15题为选做题,两题全答的,只计算前一题的得分.
9.1010.11.412.
13.55 14. 15.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.
16.解
(1),………………1分
当时,,……………………2分
而,所以的最大值为,……………………4分
此时,,Z,即,,
相应的的集合为.……………………6分
(2)(法一)因为,
所以,是的一个零点,……………………8分
即,,整理,得,
又,所以,,而,所以,,…10分
,的最小正周期为.……………………12分
(法二)是的一个零点,
即.……………………8分
所以,,整理,得,
又,所以,,而,所以,,…10分
17.解
(1)设8月份一天中发生雷电天气的概率为,
由已知.……………2分
因为每一天发生雷电的概率均相等,且相互独立,所以,在大运会开幕后的前3天比赛中,恰好有2天发生雷电天气的概率.……………6分
(2)由已知~.…………………8分
所以,的数学期望.………………………………10分
的方差.………………………………12分
18.证明
(1)(法一)因为平面平面,
且平面平面,
又在正方形中,,
所以,平面.………………2分
而平面,
所以,.………………3分
在直角梯形中,,,
,
所以,,
所以,.………………4分
又,平面,,
所以,平面.………………6分
所以,平面平面.……………7分
(法二)同法一,得平面.…………………………………2分
以为原点,,,分别为,轴,建立空间直角坐标系.
则,,,.…………………………………3分
所以,,,,
,,
所以,,.…………………………………5分
又,不共线,,平面,
所以,平面.…………………………………6分
所以,平面平面.…………………………………7分
解
(2)(法一)因为,平面,平面,
所以,平面.…………………………………9分
因为平面与平面有公共点,
所以可设平面平面,.
因为平面,平面,平面平面,
所以.………………………………10分
从而,,
又,且,,所以为中点,也为正方形.……12分
易知平面,所以,.
所以,是平面与平面所成锐二面角的平面角,
而,
所以平面与平面所成锐二面角为.………………………………14分
(法二)由
(1)知,平面的一个法向量是.……………………9分
设平面的一个法向量为,
因为,
所以,取,得,所以.……………………11分
设平面与平面所成锐二面角为,
则.……………………………………13分
19.解
(1)设点到的距离为,依题意得,
即,………………………2分
整理得,轨迹的方程为.……………………………………4分
(2)(法一)设,圆:
,其中
由两切线存在可知,点在圆外,所以,,即,
又为轨迹上的点,所以.而,所以,,
即.………6分
由
(1)知,为椭圆的左焦点,
根据椭圆定义知,,
所以,而,
所以,在直角三角形中,
由圆的性质知,四边形面积,其中.……………10分
即().
令(),则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
所以,在时,取极大值,也是最大值,
此时.………………………………14分
(法二)同法一,四边形面积,其中.……10分
所以.
由,解得,所以.……………………………14分
20.解
(1)输出结果是:
0,,.……3分
(2)(法一)由程序框图可知,
,,,.
所以,当时,
,…………………5分
而中的任意一项均不为1,
(否则的话,由可以得到,
…,与矛盾),
(常数),,.
故是首项为,公差为的等差数列,……………………………………7分
所以,,数列的通项公式为,,.………8分
(法二)当时,由程序框图可知,,,,,……
猜想,,.…………………………………………………5分
以下用数学归纳法证明:
①当时,,猜想正确;
②假设(,)时,猜想正确.即,……………………7分
那么,当时,
由程序框图可知,.即时,猜想也正确.
由①②,根据数学归纳法原理,猜想正确,,.…………8分
(3)(法一)当时,
令,则,,.………………10分
此时,,……………………………………12分
所以,,,又,
故存在常数(),
使得是以为首项,为公比的等比数列.…………………………………14分
(法二)当时,令,即,解得,…10分
因为,,.
所以,①
,②……12分
①÷
②,得,即,,,又,
故存在常数()
21.解
(1)时,,,………………………………2分
所以,函数的图象在点处的切线方程为,即.…3分
(2)因为,
所以,当,时,,……………………………4分
.………6分
(3)考虑函数,,,
则,
当时,,单调递减;
当时,;
所以,当,时,,
当且仅当时,.…………………………………10分
所以,
令,则,
两式相减得,
.
故.…………………………12分
所以,.
当且仅当时,
所以,存在唯一一组实数,,
使得等式成立.…………………………………14分