高中数学必修5第二章复习资料文档格式.docx

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递减数列

an＋1__<

常数列

an＋1＝an

按其他

标准分类

有界数列

存在正数M，使|an|≤M

摆动数列

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．

4．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f（n）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

5．已知Sn，则an＝.

二、典型例题讲解:

题型一　由数列的前几项求数列的通项

【例1】　写出下面各数列的一个通项公式：

（1）3,5,7,9，…；

（2），，，，，…；

（3）－1，，－，，－，，…；

（4）3,33,333,3333，….

思维启迪：

先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．

解　

（1）各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.

（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.

（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（－1）n；

各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；

而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝（－1）n·

.

也可写为an＝

（4）将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，

所以an＝（10n－1）．

探究提高　

（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：

①分式中分子、分母的特征；

②相邻项的变化特征；

③拆项后的特征；

④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．

（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（－1）n或（－1）n＋1来调整．

【变式训练1】根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：

（1），，－，，－，，…；

（2），1，，，…；

（3）0,1,0,1，….

解　

（1）各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，原数列可化为－，，－，，…，

因此an＝（－1）n·

（2）将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，

因此可得它的一个通项公式为an＝.

（3）an＝

或an＝或an＝.

题型二　由数列的递推关系求通项公式

【例2】　

（1）已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；

（2）已知a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.

（1）可构造等比数列求解；

（2）可使用累加法．

解　

（1）∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋a＝2（an＋a），

与an＋1＝2an＋1比较可知a＝1，

又a1＝1，∴a1＋a＝2.

故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，

∴an＋1＝2·

2n－1＝2n，故an＝2n－1.

（2）当n取1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式．

即an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，将其两边分别相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋（n－1），

∴an＝a1＋＝2＋.

探究提高　已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．

当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；

当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；

当出现an＝an－1＋f（n）时，用累加法求解；

当出现＝f（n）时，用累乘法求解．

【变式训练2】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：

（1）a1＝1，an＋1＝3an＋2；

（2）a1＝1，an＝an－1（n≥2）；

（3）已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.

解　

（1）∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3（an＋1），

∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，

又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·

3n－1，

∴an＝2·

3n－1－1.

（2）∵an＝an－1（n≥2），

∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.

以上（n－1）个式子相乘得

an＝a1·

·

…·

＝＝.

（3）∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1（n≥2），

∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1

＝（n≥2）．

当n＝1时，a1＝×

（3×

1＋1）＝2符合公式，

∴an＝n2＋.

题型三　由数列的前n项和求通项公式

【例3】　已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：

（1）Sn＝2n2－3n；

（2）Sn＝3n＋b.

当n＝1时，由a1＝S1，求a1；

当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．

解　

（1）a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝（2n2－3n）－[2（n－1）2－3（n－1）]＝4n－5，

由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.

（2）a1＝S1＝3＋b，

＝（3n＋b）－（3n－1＋b）＝2·

3n－1.

当b＝－1时，a1适合此等式．

当b≠－1时，a1不适合此等式．

∴当b＝－1时，an＝2·

3n－1；

当b≠－1时，an＝

探究提高　数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；

当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．

【变式训练3】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．

答案　an＝

解析　当n＝1时，a1＝S1＝3×

12－2×

1＋1＝2；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3（n－1）2－2（n－1）＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．

故数列的通项公式为an＝

三、随堂练习：

1．已知数列1，，，，…，，则3是它的（　　）

A．第22项B．第23项

C．第24项D．第28项

答案　B

解析　观察知已知数列的通项公式是an＝，

令an＝＝3＝，得n＝23.

2．在数列中，等于（）

A．11B．12C．13D．14

3.（2011·

四川）数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn（n≥1），则a6等于（　　）

A．3×

44B．3×

44＋1

C．45D．45＋1

答案　A

解析　当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，

∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，

∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．

又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝

∴当n＝6时，a6＝3×

46－2＝3×

44.

4．如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式是（　　）

A．an＝2（n2＋n＋1）B．an＝3·

2n

C．an＝3n＋1D．an＝2·

3n

答案　D

解析　由已知可得：

a1＝6，a2＝18，由此可排除A、B、C.

5．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为（　　）

A．15B．16C．49D．64

解析　∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1.

∴an＝2n－1，∴a8＝2×

8－1＝15.

6．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为__________．

答案　an＝2n－1（n∈N*）

解析　∵1,3,7,15分别加上1，则为2,4,8,16，易知an＝2n－1.

7．数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则{an}的通项公式an＝________.

答案　n（n－1）

解析　由已知，得an＋1－an＝2n，

故an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）

＝0＋2＋4＋…＋2（n－1）＝n（n－1）．

8．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.

（1）设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；

（2）若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．

解　

（1）依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，

即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2（Sn－3n），

∴{Sn－3n}是等比数列，

因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝（a－3）2n－1，n∈N*①

（2）由①知Sn＝3n＋（a－3）2n－1，n∈N*，

于是，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝3n＋（a－3）2n－1－3n－1－（a－3）2n－2

＝2×

3n－1＋（a－3）2n－2，

an＋1－an＝4×

3n－1＋（a－3）2n－2

＝2n－2，

当n≥2时，an＋1≥an⇔12·

n－2＋a－3≥0⇔a≥－9，

又a2＝a1＋3>

a1.

综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞）．

5-6　等差数列及其前n项和

1．等差数列的定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．

2．等差数列的通项公式：

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋（n－1）d.

3．等差中项：

如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d，（n，m∈N*）．

（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an.

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

（5）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．

5．等差数列的前n项和公式：

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.

数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn，（A、B为常数）．

7．等差数列的最值

在等差数列{an}中，a1>

0，d<

0，则Sn存在最__大__值；

若a1<

0，d>

0，则Sn存在最__小__值．

8．等差数列的判断方法：

（1）定义法：

an－an－1＝d（n≥2）；

（2）等差中项法：

2an＋1＝an＋an＋2.

9．等差数列与等差数列各项和的有关性质