湖南省衡阳市 高一数学下学期第一次月考试题理科实验班Word文档下载推荐.docx
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A．B．C．D．
4.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）
A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）
C．y=sin2x+cos2xD．y=sinx+cosx
5.已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
6.若sinx+cosx=，则tan（x+）=（ ）
A．B．C．D．
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sinB=，cosB=，则a+c=（ ）
A．B．C．3D．2
8.在直角坐标系中，一动点从点A（1，0）出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动π弧长，到达点B，则点B的坐标为（）
A．（﹣，）B．（﹣，﹣）
C．（﹣，﹣）D．（﹣，）
9.要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（ ）
A．向左平移单位B．向右平移单位
C．向左平移单位D．向右平移单位
10.如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11.已知向量，，，若向量，的夹角为，
则有（）
12.已知M是△ABC内一点，且，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，则xy的最大值是（ ）
A．B．C．D．
第II卷非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.如果sin（x+）=，则cos（﹣x）= ．
14.已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则= ．
15.已知向量，，则在方向上的投影等于．
16.如图所示是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|≤，ω＞0）的一段图象，则f（）= ．
三.解答题（共6题，共70分）
17.（本题满分10分）
已知向量=（cosθ，sinθ），=（2，﹣1）．
（1）若⊥，求的值；
（2）若|﹣|=2，，求的值．
18.（本题满分12分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的点．
（Ⅰ）求证：
平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E是PB的中点，若AE与平面ABCD所成角为45°
，求三棱锥P﹣ACE的体积．
19.（本题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b﹣5，c=，且4sin2﹣cos2C=．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．
20.（本题满分12分）
如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：
m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：
m2）
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；
（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时？
通风窗EFGH的面积S最大？
21.（本题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点（a，b）在直线2xcosB﹣ycosC=ccosB上．
（1）求cosB的值；
（2）若a=，b=2，求角A的大小及向量在方向上的投影．
22.（本题满分12分）
已知函数f（x）=1﹣（a为常数）为R上的奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）对x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．
2017年上期高一年级理科实验班第一次月考数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
D
13.
14.
15.
16.1
17.
（1）若⊥，
则=2cosθ﹣sinθ=0，tanθ==2，
∴===．
（2）∵||=1，||=，
若|﹣|=2，，
则有﹣2+=4，即1﹣2+5=4，解得=1，
即2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1，
化简可得3cos2θ﹣4sinθcosθ=0，
即tanθ=．
再利用同角三角函数的基本关系sin2θ+cos2θ=1，
求得cosθ=，sinθ=，
∴=sinθ+cosθ=．
18.
（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，
∴AC=BC=．
∴AC2+BC2=AB2，
∴AC⊥BC．
又BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，
又∵AC⊂平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．
解：
（Ⅱ）取BC的中点F，连接EF，AF，
∵E，F是PB，BC的中点，
∴EF∥PC，
由PC⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD．
∴∠EAF为AE与平面ABCD所成角．即∠EAF=45°
．
∵AF==，
∴EF=AF=．
∵E是PB的中点，
∴VP﹣ACE=VE﹣ABC===．
19.
（1）∵A+B+C=180°
，
∴=90°
﹣，
由得：
∴，
整理得：
4cos2C﹣4cosC+1=0，
解得：
∵0°
＜C＜180°
∴C=60°
；
（2）由余弦定理得：
c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，
∴7=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab⇔ab=6，
∴
20.
（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．
（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．
在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，
故S=EF×
FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．
即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．
（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．
在Rt△ONF中，NF===．
在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，
FG=x．
即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．
（2）方法一：
选择（i）中的函数模型：
令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），
则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．
由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．
因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．
设cosα=，且α为锐角，
则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；
当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，
所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．
即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．
方法二：
选择（ii）中的函数模型：
因为S=，
令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），
则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），
因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．
即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．
21.
（1）因为点（a，b）在直线2xcosB﹣ycosC=ccosB上．
所以2acosB﹣bcosC=ccosB，由正弦定理变形得2sinAcosB﹣sinBcosC=sinCcosB，
所以2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，
所以cosB=；
（2）由
（1）得B=60°
，因为a=，b=2，
所以cosA=，所以A=arccos；
因为∠B=60°
，所以向量在方向上的投影为acos60°
=．
22.（Ⅰ）由题意知f（0）=0．即，
所以a=2．此时f（x）=，
而f（﹣x）=，
所以f（x）为奇函数，故a=2为所求．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
因为x∈（0，1]，所以2x﹣1＞0，2x+1＞0，
故s•f（x）≥2x﹣1恒成立等价于s≥2x+1恒成立，
因为2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．
故s的取值范围是[3，+∞）．
（Ⅲ）由题意g（x）=，化简得g（x）=2x+1，
方程g（2x）﹣mg（x）=0，即22x﹣m•2x+1﹣m=0有唯一实数解
令t=2x，则t＞0，
即等价为t2﹣mt+1﹣m=0，（t＞0）有一个正根或两个相等正根…
设h（t）=t2﹣mt+1﹣m，则满足h（0）≤0或
由h（0）≤0，得1﹣m≤0，即m≥1
当m=1时，h（t）=t2﹣t，满足题意
由得m=2﹣2，
综上，m的取值范围为m≥1或m=2﹣2
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