高考数学理大一轮复习习题第九章 解析几何 Word版含答案Word文档下载推荐.docx

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①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.

②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

（2）两条直线垂直：

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·

k2＝－1.

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

直线的倾斜角与斜率

1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：

斜率k

k＝tanα>

k＝0

k＝tanα<

不存在

倾斜角α

锐角

0°

钝角

90°

　2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：

当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；

当α取值在内，由增大到π（α≠π）时，k由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．

[例1]　

（1）直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（　　）

A．[0，π）　　　　　　　B.∪

C.D.∪

（2）已知线段PQ两端点的坐标分别为P（－1,1）和Q（2,2），若直线l：

x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．

[解析]　

（1）因为直线xsinα＋y＋2＝0的斜率k＝－sinα，又－1≤sinα≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tanθ≤1，而θ∈[0，π），故倾斜角的取值范围是∪.

（2）如图所示，直线l：

x＋my＋m＝0过定点A（0，－1），当m≠0时，kQA＝，kPA＝－2，kl＝－.∴－≤－2或－≥.解得0<

m≤或－≤m<

0；

当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．

∴实数m的取值范围为.

[答案]　

（1）B　

（2）

[易错提醒]

直线倾斜角的范围是[0，π），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞）；

当α＝时，斜率不存在；

当α∈时，斜率k∈（－∞，0）．　　

两直线的位置关系

两直线平行或垂直的判定方法

（1）已知两直线的斜率存在

①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；

②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.

（2）已知两直线的斜率不存在

若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；

否则两直线重合．

（3）已知两直线的一般方程

设直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．

[例2]　

（1）若直线ax＋2y－6＝0与x＋（a－1）y＋a2－1＝0平行，则a＝________.

（2）已知经过点A（－2,0）和点B（1,3a）的直线l1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．

[解析]　

（1）因为两直线平行，所以有a（a－1）－2＝0，且2（a2－1）＋6（a－1）≠0，即a2－a－2＝0，且a2＋3a－4≠0，解得a＝2或a＝－1.

（2）l1的斜率k1＝＝a.

当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.

因为l1⊥l2，

所以k1k2＝－1，即a·

＝－1，解得a＝1.

当a＝0时，P（0，－1），Q（0,0），这时直线l2为y轴，A（－2，0），B（1,0），直线l1为x轴，显然l1⊥l2.

综上可知，实数a的值为1或0.

[答案]　

（1）2或－1　

（2）1或0

当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.直线2xcosα－y－3＝0（α∈[，]）的倾斜角的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，

因为α∈，

所以≤cosα≤，

因此k＝2·

cosα∈[1，]．

设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．

又θ∈[0，π），所以θ∈，

即倾斜角的取值范围是.

2.直线l：

xsin30°

＋ycos150°

＋1＝0的斜率是（　　）

C．－D．－

选A　设直线l的斜率为k，则k＝－＝.

3.若直线l1：

mx－y－2＝0与直线l2：

（2－m）x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为（　　）

A．－1B．0

C．1D．2

选C　∵直线l1：

（2－m）x－y＋1＝0互相平行，∴解得m＝1.故选C.

4.已知直线l1：

2ax＋（a＋1）y＋1＝0，l2：

（a＋1）x＋（a－1）y＝0，若l1⊥l2，则a＝（　　）

A．2或B.或－1

C.D．－1

选B　因为直线l1：

（a＋1）x＋（a－1）y＝0，l1⊥l2，所以2a（a＋1）＋（a＋1）（a－1）＝0，解得a＝或a＝－1.故选B.

5.直线l过点P（1,0），且与以A（2,1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

如图，∵kAP＝＝1，

kBP＝＝－，

∴k∈（－∞，－]∪[1，＋∞）．

答案：

（－∞，－]∪[1，＋∞）

6.（2016·

苏北四市一模）已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋（b－3）y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________．

由两直线平行可得，a（b－3）－2b＝0，

即2b＋3a＝ab，＋＝1.

又a，b为正数，

所以2a＋3b＝（2a＋3b）·

＝13＋＋≥13＋2＝25，

当且仅当a＝b＝5时取等号，

故2a＋3b的最小值为25.

25

突破点

（二）　直线的方程

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

直线方程的五种形式

形式

几何条件

方程

适用范围

点斜式

过一点（x0，y0），斜率k

y－y0＝k（x－x0）

与x轴不垂直的直线

斜截式

纵截距b，斜率k

y＝kx＋b

两点式

过两点（x1，y1），（x2，y2）

＝

与x轴、y轴均不垂直的直线

截距式

横截距a，纵截距b

＋＝1

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0

平面直角坐标系内所有直线

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

求直线方程

[例1]　

（1）求过点A（1,3），斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程．

（2）求经过点A（－5,2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．

（3）求过A（2,1），B（m,3）两点的直线l的方程．

[解]　

（1）设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×

＝－.又直线经过点A（1,3），因此所求直线方程为y－3＝－（x－1），即4x＋3y－13＝0.

（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将（－5,2）代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；

当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.

故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

（3）①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；

②当m≠2时，直线l的方程为＝，

即2x－（m－2）y＋m－6＝0.

因为m＝2时，代入方程2x－（m－2）y＋m－6＝0，即为x＝2，

所以直线l的方程为2x－（m－2）y＋m－6＝0.

（1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．

（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；

若采用截距式，应先判断截距是否为零）．　

与直线方程有关的最值问题

[例2]　过点P（4,1）作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点．

（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程．

（2）当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

[解]　设直线l：

＋＝1（a>

0，b>

0），

因为直线l经过点P（4,1），

所以＋＝1.

（1）＋＝1≥2＝，

所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，

所以当a＝8，b＝2时，S△AOB＝ab最小，此时直线l的方程为＋＝1，

即x＋4y－8＝0.

（2）因为＋＝1，a>

0，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝（a＋b）·

＝5＋＋≥5＋2＝9，

当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，

所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.

[方法技巧]

1．给定条件求直线方程的思路

（1）考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．

（2）在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程．

（3）重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．

2．与直线有关的最值问题的解题思路

（1）借助直线方程，用y表示x或用x表示y.

（2）将问题转化成关于x（或y）的函数．

（3）利用函数的单调性或基本不等式求最值．

1.倾斜角为135°

，在y轴上的截距为－1的直线方程是（　　）

A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0

C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0

选D　直线的斜率为k＝tan135°

＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.

2.已知直线l过点（1,0），且倾斜角为直线l0：

x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（　　）

A．4x－3y－3＝0B．3x－4y－3＝0

C．3x－4y－4＝0D．4x－3y－4＝0

选D　由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，

因为直线l0：

x－2y－2＝0的斜率为，则tanα＝，

所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，

所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝（x－1），

即4x－3y－4＝0.

3.若直线ax＋by＝ab（a>

0）过点（1,1），则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为（　　）

A．1B．2C．4D．8

选C　∵直线ax＋by＝ab（a>

0）过点（1,1），

∴a＋b＝ab，即＋＝1，

∴a＋b＝（a＋b）

＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当