高考数学易错集专题07三角变换及解三角形文科 word版 含答案Word格式.docx

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∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，

A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得：

tanB＋tanC＝2tanBtanC.

又tanA＝－tan（B＋C）＝－＝.

∴tanA（tanBtanC－1）＝tanB＋tanC.

则tanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tanC，

∴tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋

2tanBtanC≥2，

∴≥2，

∴tanAtanBtanC≥8.

5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，则△ABC的面积为________．

答案　

6．若α∈（0，），则的最大值为________．

解析　∵α∈（0，），

∴＝＝且tanα>

0，

∴＝≤＝（当且仅当tanα＝2时等号成立），故的最大值为.

7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°

的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°

的方向上，仰角为30°

，则此山的高度CD＝________m.

答案　100

解析　在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°

，∠ACB＝75°

－30°

＝45°

，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°

，CD＝BCtan∠CBD＝300·

tan30°

＝100.

8．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（a＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）·

sinC，则△ABC面积的最大值为________．

解析　∵＝＝，a＝2，

又（a＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）·

sinC，

可化为（a＋b）（a－b）＝（c－b）·

c，

∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.

∴＝＝＝cosA，∴A＝60°

.

∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·

cos60°

＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc（“＝”当且仅当b＝c时取得），

∴S△ABC＝·

bc·

sinA≤×

4×

＝.

9．已知函数f（x）＝sinωx·

cosωx－cos2ωx（ω>

0）的最小正周期为.

（1）求ω的值；

（2）在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f（A）的值域．

（2）由

（1）知f（x）＝sin（3x－）－，

易得f（A）＝sin（3A－）－.

因为sinB，sinA，sinC成等比数列，

所以sin2A＝sinBsinC，

所以a2＝bc，

所以cosA＝＝≥

＝（当且仅当b＝c时取等号），

因为0<

A<

π，所以0<

A≤，

所以－<

3A－≤，

sin（3A－）≤1，

所以－1<

sin（3A－）－≤，

所以函数f（A）的值域为（－1，]．

易错起源1、三角恒等变换

例1、

（1）已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________.

（2）已知sinα＝，sin（α－β）＝－，α，β均为锐角，则角β等于（　　）

A.B.

C.D.

答案　

（1）　

（2）C

解析　

（1）因为α为锐角，cos（α＋）＝>

所以α＋为锐角，sin（α＋）＝，

则sin（2α＋）＝2sin（α＋）cos（α＋）＝2×

×

又cos（2α－）＝sin（2α＋），

所以cos（2α－）＝.

【变式探究】

（1）已知sin＝，cos2α＝，则sinα等于（　　）

A.B．－C．－D.

（2）－等于（　　）

A．4B．2

C．－2D．－4

答案　

（1）D　

（2）D

解析　

（1）由sin＝，

得sinαcos－cosαsin＝，

即sinα－cosα＝，①

又cos2α＝，所以cos2α－sin2α＝，

即（cosα＋sinα）·

（cosα－sinα）＝，

因此cosα＋sinα＝－.②

由①②得sinα＝，故选D.

（2）－＝－

＝＝

＝＝－4，

故选D.

【名师点睛】

（1）三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．

（2）求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．

【锦囊妙计，战胜自我】

1．三角求值“三大类型”

“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．

2．三角函数恒等变换“四大策略”

（1）常值代换：

特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°

等；

（2）项的分拆与角的配凑：

如sin2α＋2cos2α＝（sin2α＋cos2α）＋cos2α，α＝（α－β）＋β等；

（3）降次与升次：

正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；

（4）弦、切互化：

一般是切化弦．

易错起源2、正弦定理、余弦定理

例2、

（1）（2016·

课标全国丙）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　）

A.B.C．－D．－

（2）（2015·

北京）在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，则B＝________.

答案　

（1）C　

（2）

（2）由正弦定理得sinB＝＝＝，

因为A为钝角，所以B＝.

【变式探究】如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

解　

（1）S△ABD＝AB·

ADsin∠BAD，

S△ADC＝AC·

ADsin∠CAD.

因为S△ABD＝2S△ADC，

∠BAD＝∠CAD，

所以AB＝2AC.

由正弦定理可得

（2）因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.

在△ABD和△ADC中，由余弦定理知

AB2＝AD2＋BD2－2AD·

BDcos∠ADB，

AC2＝AD2＋DC2－2AD·

DCcos∠ADC.

故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，

由

（1）知AB＝2AC，所以AC＝1.

关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．

1．正弦定理：

在△ABC中，＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径）．变形：

a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．

2．余弦定理：

在△ABC中，

a2＝b2＋c2－2bccosA；

变形：

b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.

易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题

例3　（2015·

山东）设f（x）＝sinxcosx－cos2.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．

解　

（1）由题意知f（x）＝－

＝－＝sin2x－.

由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，

可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；

由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，

可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以f（x）的单调递增区间是

（k∈Z）；

单调递减区间是（k∈Z）．

【变式探究】已知函数f（x）＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x.

（1）求f（x）的最小正周期和值域；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（）＝2且a2＝bc，试判断△ABC的形状．

解　

（1）f（x）＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x

＝sin2x＋cos2x

＝2sin（2x＋），

所以T＝π，f（x）∈[－2,2]．

（2）因为f（）＝2sin（A＋）＝2，

所以sin（A＋）＝1.

π，所以A＋＝，

所以A＝.

由a2＝b2＋c2－2bccosA及a2＝bc，

得（b－c）2＝0，所以b＝c，

所以B＝C＝.

所以△ABC为等边三角形.

解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；

对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．

解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．

1．已知α为锐角，cosα＝，tan（α－β）＝－，则tanβ的值为（　　）

A.B．3

答案　B

解析　由α为锐角，cosα＝，得sinα＝，

∴tanα＝，∵tan（α－β）＝－，

∴tanβ＝tan[α－（α－β）]＝＝3.

2．tan70°

＋tan50°

－tan70°

tan50°

的值等于（　　）

C．－D．－

答案　D

解析　因为tan120°

＝＝－，

即tan70°

＝－.

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

答案　C

解析　由已知可得，b＝＝2ccosA，

∴cos2A＝，易知cosA>

0，∴cosA＝.

又∵0°

<

180°

，∴A＝60°

，

由b＝2c·

得a2－c2＝0，

∴a＝c.因此，△ABC为等边三角形，故选C.

4．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2bcosA，B＝，c＝1，则△ABC的面积等于（　　）

5．若sin2α＝，sin（β－α）＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是（　　）

C.或D.或

解析　∵sin2α＝，α∈，

∴cos2α＝－且α∈，

又∵sin（β－α）＝，β∈，

∴cos（β－α）＝－，

∴sin（α＋β）＝sin[（β－α）＋2α]

＝sin（β－α）cos2α＋cos（β－α）sin2α

＝×

＋×

＝－，

cos（α＋β）＝cos[（β－α）＋2α]

＝cos（β－α）cos2α－sin（β－α）sin2α

－×

＝，

又α＋β∈，∴α＋β＝，故