平方差公式教学案例.docx

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平方差公式教学案例

数学教学案例

（人教版八年级数学上册14.2.1）

案例名称：

《平方差公式》

所属课程：

数学

所属专业：

初中数学

讲课课时：

一课时

《平方差公式》教学案例

一、教学内容与分析

1．内容

平方差公式——两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

2.内容分析

本节内容要紧研究的是平方差公式的推导和应用。

平方差公式是学生学习了整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在已经把握了单项式乘法、多项式乘法以后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一样到特殊的认知规律的典型范例。

对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为完全平方公式的学习提供了方式，同时也为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础。

因此，平方差公式在初中时期的教学中具有承先启后的作用。

3．教学重点与难点

本节课的重点：

明白得平方差公式，把握其结构特点，并能运用公式进行运算。

本节课的难点：

①明白得公式中字母的含义，即公式：

中的字母a，b能够是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。

正确找准哪个数或式相当于公式中的a，b.②平方差公式的变式应用。

二、教学目标与解析

1.目标

（1）知识目标：

把握平方差公式的结构特点，能运用公式进行计算。

（2）能力目标：

在探讨平方差公式的进程中，感悟从具体到抽象研究问题的方式；在验证平方差公式的进程中，感知数形结合的思想，进一步进展学生的符号感和推理能力、归纳能力；在运用公式的进程中，渗透转化、建模等数学思想，培育学生的思维能力和数

学应用意识。

（3）情感目标：

让学生在合作探讨的学习进程中体验成功的喜悦，培育学生勇于探讨、擅长观看、斗胆猜想的创新思维品质。

2.目标解析

（1）明白得平方差公式的意义，把握平方差公式的结构特点，并能灵活运用平方差公式解决问题。

在数学活动中，引导学生观看、分析公式的结构特点和公式中字母的普遍含义，加深学生对公式的明白得。

（2）让学生经历具体——抽象的进程。

从中发觉、体会、明白得公式，积存数学活动的体会，进一步进展学生的符号感、观看、归纳、猜想、推理能力，利用几何图形的面积验证公式的进程中，感知数形结合的思想。

在运用公式的进程中，渗透转化、建模等数学思想，培育学生的思维能力和数学应用意识。

（3）通过自主探讨与合作交流的学习方式，让学生经历探讨新知、巩固新知和拓展新知这一进程，发挥学生的主体作用，在解决问题进程中与他人合作交流的重要性，让学生在公式的运用中积存解题的体会，体会成功的喜悦。

三、学生情形分析

学生已经较熟练地把握了多项式乘法，为学习本节知识做了知识预备；学生已经具有了小组合作能力、探讨能力、归纳分析能力，能通过合作交流完成学习任务；通过制造问题情境，让学生探讨相应问题，成立并运用公式，从而拓展学生知识技术成为可能。

四、教学问题诊断分析

学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特点和公式中字母的普遍含义的解。

因此，教学中引导学生分析公式的结构特点，并运用变式训练揭露公式的本质特点，以加深学生对公式的明白得。

五、教学进程设计

（一）创设情境，引出新知

问题1：

计算以下多项式的积，你能发觉什么规律？

（屏幕显示）

（1）.

（2）.

（3）.

师生活动：

学生计算，三位同窗在黑板上板书，师生一起分析结果。

【设计用意】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既温习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一样到特殊的熟悉规律，引出乘法公式——平方差公式。

（二）探讨新知，尝试发觉

问题2：

依照以上三道题的计算回答以下问题：

（屏幕显示）

①式子的左侧具有什么一起特点？

②它们右边的结果有什么特点？

③能不能用字母表示你的发觉？

④你能对发觉的规律进行推导吗？

师生活动：

教师提问，学生通过自主探讨、合作交流，发觉规律，式子左侧是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：

，由学生运用多项式乘法计算，验证了其公式的正确性。

【设计用意】在学生已把握的多项乘法法那么的基础上，探讨具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，如此加倍自然合理。

让学生经历具体——抽象的进程。

即经历观看、比较、抽象、归纳、推理的进程，从中体会研究数学问题的大体思想方式：

“具体——

抽象”。

（三）数形结合，几何说理

问题3：

活动探讨：

将长为（a+b），宽为（a-b）的长方形，剪下宽为b的长方形条①，放在图中②处拼成有空缺的正方形，你能用等式表示剪拼前后的图形的面积关系吗？

（屏幕显示）

=

师生活动：

小组合作，教师巡视指导，代表发言。

【设计用意】通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,让学生熟悉平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想。

引导学生学会从多角度、多方面来试探问题，再次验证了平方差公式的正确性。

（四）归纳总结，发觉新知

问题4：

前面探讨所得的式子，称为平方差公式，你能用文字语言表述它吗？

（屏幕显示）

师生活动：

学生回答，彼此补充。

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

【设计用意】鼓舞学生用自己的语言表述，进展学生的数学语言表达能力加深对公式结构特点的明白得。

（五）剖析公式，发觉本质

问题5：

在平方差公式中，认真观看其结构特点，你能用自己的语言表述吗？

（屏幕显示）

师生活动：

同桌讨论后回答，彼此补充并总结如下：

左侧是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即。

师追问：

以上三个算式中，哪些数或式子相当于公式中的a，b。

师生活动：

独自试探，代表发言。

【设计用意】通过观看平方差公式，体验公式的简练性,并通过度析公式的本质特点把握公式。

在认清公式的结构特点的基础上，进一步剖析a、b的普遍含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能驾轻就熟，起到事半功倍的成效。

（六）巩固运用，内化新知

问题6：

判定以下算式可否运用平方差公式计算：

（屏幕显示）

（1）

（2）

（3）（4）

师生活动：

分组讨论，代表发言，大伙儿评判。

【设计用意】学生通过试探、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特点，把握运用平方差公式必需具有的条件。

巩固平方差公式，进一步体会字母a，b能够是数，也能够是式，加深对字母含义普遍性的明白得。

例题1：

运用平方差公式计算：

（屏幕显示）

（1）；

（2）

师生活动：

师生一起分析解答，教师板书

（1），学生板书

（2）。

在解答

（1）的进程中，教师引导学生哪个数或式相当于公式中的a、b，然后依照公式写出平方差，再计算出结果；在解答

（2）的进程中，一样注意上述问题，并提议用不同方式解答，以表现学生的制造性。

分析：

在

（1）中，能够把3x看成a，2看成b，即

=

（a+b）（a-b）=a2-b2

解：

（1）

（2）

【设计用意】让学生熟悉公式的结构特点，找准哪个数或式表示公式中的a,哪个数或式表示公式中的b，并运用公式进行计算。

练习1:

以下计算对不对？

假设不对，应如何更正。

（屏幕显示）

（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

（5）.

师生活动：

同桌讨论交流后，代表回答，教师引导学生订正答案。

【设计用意】对学生常显现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的明白得，进一步把握平方差公式的本质特点和运用平方差公式进行计算必需具有的条件。

问题7：

从以上例题和练习中，你以为运用公式解决问题应注意什么？

（屏幕显示）

师生活动：

学生回答下列问题，并彼此补充。

总结以下体会：

一、在运用平方差公式之前，必然要看是不是具有公式的结构特点；二、必然要找准哪个数或式相当于公式中的a,哪个数或式相当于公式中的b；3、总结规律：

a的符号相同，b的符号相反；4、公式中的字母a，能够是具体的数、单项式、多项式等；五、勿忘记写公式右边的“平方”。

【设计用意】引导学生深切分析平方差公式的结构特点，明确a、b的意义，在运用公式计算时必然要抓住关键——找准哪个数或式相当于“第一个数”a，哪个数或式相当于“第二个数”b，通过此进程，冲破本节课的难点。

（七）拓展深化，进展思维

例题2：

计算：

（屏幕显示）

（1）

（2）98×102

师生活动：

师生一起分析，得出：

（1）中的前两个多项式的积能够直接利用平方差公式，后两个多项式的积不具有平方差公式的结构特点，不能用此公式；必需用多项式的乘法计算，并把计算的结果放在括号里。

（2）是两个数乘积的简捷计算，这两个因数恰好能够分解成两个数（100与2）的和与这两个数的差，且这两个数的平方容易计算。

问题

（2）对一部份学生来讲，有必然难度，教师要注意引导学生认真观看，并及时总结规律——第一个数是两个因数的平均数。

【设计用意】第

（1）题是新旧知识的综合运用，此题要让学生深刻明白得平方差公式的结构特点，明白只有符合公式结构特点的乘法才能运用公式简化运算；第

（2）题是平方差公式在数的乘法中的应用，属于两个数乘积的简捷计算问题，使学生将平方差公式的知识迁移到新的问题情境中，即巩固新知，又培育学生分析和解决问题的能力。

此题表现了转化的思想和数式通性。

练习2:

看谁算得快。

（屏幕显示）

（1）

（2）

（3）501×（-499）（4）

师生活动：

四名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视指导，完成后大伙儿一路评判四名学生的解答。

【设计用意】通过同类型题的练习，帮忙学生更好地明白得平方差公式，较熟练地运用平方差公式进行有关计算。

同时进行查漏补缺。

（八）小试牛刀，挑战自我

问题8:

在以下括号中填上适合的多项式：

（屏幕显示）

（1）（）=

（2）（）（）=

师生活动：

独立试探，代表发言，大伙儿评判。

【设计用意】此题旨在从反方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反项，关键在于明白得公式结构特点，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为以后学习因式分解做了铺垫。

第2个填空题，属开放设计型．目的是增强学生对公式结构特点的明白得，同时也锻炼学生的发散思维。

（九）各抒己见，课时小结

大伙儿一路回忆本节课所学内容，并请同窗们回答以下问题：

（屏幕显示）

（1）这节课你学习了哪些内容？

（2）平方差公式的结构特点是什么？

（3）应用平方差公式时要注意什么？

师生活动：

学生回答，彼此补充。

【设计用意】从通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——平方差公式，进一步熟悉公式的结构特点，为运用公式积存体会。

（十）布置作业（屏幕显示）

1.教课书习题第1题（写在作业本上）。

2.预习完全平方公式。

【设计用意】作业1目的是巩固所学知识，作业2要紧培育学生良好的自学学习适应为目的。

六、目标检测设计

1．以下多项式乘法中，能够用平方差公式计算的是（　　）

A.B.

C.D.

【设计用意】考查学生对平方差公式结构特点的明白得。

2.填空题：

（1）（）.

（2）.

（3）（）.

（4）设，，那么.

（5）已知，那么a=.

【设计用意】考查学生对平方差公式灵活运用的能力。

3.计算：

（1）

（2）

（3）（4）

【设计用意】考查学生对平方差公式的明白得及运用。

4.计算：

（1）1998×2002

（1）-2021×2021

【设计用意】考查学生对平方差公式的应用——两个数乘积的简捷计算的把握。

5.解答题：

已知：

两个正方形的周长之和等于32cm，它们的面积之差为48cm2，求这两个正方形的边长。

【设计用意】综合利用新旧知识解答实际生活中的问题，考查学生对知识综合运用的能力，同