椭球面上的基本计算Word文件下载.docx
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参考椭球一一与某一局部大地水准面密切配合的椭球。
二、椭球的几何元素与参数
1•椭球的元素
长半径：
a
短半径：
b
2.椭球的参数
:
■=（a—b）/a
扁率：
第一偏心率：
e=.a2「b2/a
第二偏心率：
e>
a2-b2/b
式中：
..a2-b2――椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离
3.关系式
a=b1-e?
b=a、；
1—e?
r*Q'
Q
e=ep（1—e）e"
=e/（1—e"
）
22
（1+e'
）（1—e）=1
e=2ot—a~2a（a~1/300）
我国解放前使用海福特椭球等。
解放后，我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国
家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS采用的是WGS-84椭球参数。
这三个椭球的元素和参数参见P2表7-1o
练习及作业:
1.阅读
1《控制测量学》上册，§
1.21.2.1、1.2.2
2《控制测量学》下册，§
7.1
2.思考
1如何理解大地水准面是测量外业的基准面？
为什么不能作为测量计算的基准面?
2如何旋转椭圆得到参考椭球？
2椭球上点的位置的确定
、椭球上点的高程位置的确定
大地高H大一一地面点沿法线方向到参考椭球面的距离。
大地高可以由以下两种方法求得：
H大=H正+N
H正B点的正高高程
N大地水准面差距（见大地重力学中
H大=H常+Z
H常B点的正常高高程
斯托克司公式）
z――高程差异或高程异常（见重力测量学）
因正常高能精确求得，z亦能严密解算，故，此方法是严密的。
（注：
①大地水准面与似大地水准面很接近，在高山区最大差异不
超过土4m，在平均海水面上两面重合，即H°
正=H0常；
②B点法线与重力
线非常接近，其差异对高程的影响很小，讨论高程时可不予考虑）
二、椭球面上点的平面位置的确定
1•椭球面上的线和圈
子午圈一一包含短轴的平面与椭球面的截线；
亦称经圈，经线，子午线。
平行圈一一垂直于短轴的平面与椭球面的交线；
亦称纬圈、纬线。
最大的平行圈，即过椭球中心垂直于短
轴的平面与椭球面的交线，称为赤道。
法截面、法截线包含某点法线的平面称为法截面，法截面与椭球面的交线称为法截线。
卯酉圈一一与某点子午面正交的法截面在椭球上的截线。
2•椭球上的坐标系统和空间直角坐标系统
1大地坐标系统（B、L）
大地经度L――过P点的子午面与起始子午面构成的两面角；
由起始子午面起算，逆转向东为正（东经0〜180°
），顺转向西为
负（西经0〜180°
）；
大地纬度B――过P点的法线与赤道平面的夹角；
由赤道平面
起算，向北为正（北纬0〜90°
）,向南为负（南纬0〜90°
）。
2子午面直角坐标系统（L,x,y）
L大地经度；
x,y——子午面内的平面直角坐标系统；
子午面与赤道平面的交线为x轴，椭球短轴为y轴。
3空间直角坐标系统（X,Y,Z）
o参考椭球的中心
X——起始子午面与赤道面的交线
Y在赤道面内，垂直X（右手系）
Z――与椭球短半径重合
3•坐标系统间的关系
①大地坐标系与子午面直角坐标系的关系
点在两坐标中大地经度L相同，推导大地纬度B与直角坐标x,y的关系如下：
因曲线在P点处的一阶导数牡就是P点处曲线切线的斜
dx
率，即:
空二tan（B90）--cotBdx
即:
又,
对子午椭圆方程式冷•占
a2b2
=1微分，有:
因b二a・1-e2，故:
也即:
dy
dx
b2
2a
2X
-cotB--（1-e2）—y
2
y=xtanB（1—e）
将
（1）式代入椭圆方程,
得:
由
（1）,
（2）两式可得:
②大地坐标系与空间直角坐标系的关系
22丄22\2
xxtanB（1-e）
1
2,2
ab
acosBa„
xcosB
.1—e2sin2BW
a（1—e）sinB
1-e2sin2B
空间M点的大地坐标为L，B，H;
其空间直角坐标为
首先推导空间直角坐标系与子午面直角坐标系关系如下:
Xm=xmCOSL
Ym=XmsinL
（1）
Zm=ym
又，从右图可知:
Xm=Xp+HcosB=（a/W）cosB+HcosB
.2
ym=yp+HsinB=但/W）（1—e）sinB+HsinB
将
（2）代入
（1）得：
Xm=XmCOSL=（N+H）COSBCOSL
Ym=XmSinL=（N+H）cosBsinL
Zm=ym=（N-Ne+H）sinB
N=a/W
X,
Ne=ae/W
练习及作业：
1•阅读
7.2浏览已知空间直角坐标计算大地坐标的（7-31）、（7-32.）、（7-34）式
2.作图并复习定义
1大地坐标系
2子午面直角坐标系
3空间直角坐标系
3.思考
1大地坐标系与子午面直角坐标系如何建立关系？
2大地坐标系与空间直角坐标系如何建立关系？
3几种主要的曲率半径
、子午曲率半径M
已知，平面曲率半径公式
二、卯酉曲率半径
通过P点引两个截弧：
法截弧与斜截弧。
法截弧的曲率半径为
曲率半径为r，若法截弧与斜截弧在P点有公共切线，则r=NcosB（B为两曲率
半径的夹角）。
2•卯酉曲率半径
取法截弧为卯酉圈，斜截弧为平行圈，根据麦尼尔第二定律，有:
式中x——P点在子午面直角坐标系统中的x坐标
BP点的大地纬度
将关系式X二acosB代入上式得
韵一e2sin2B
1-e2sin2B
由上式知：
NB=o°
=a（赤道处卯酉曲率半径等于a）
N-—*（两极处卯酉曲率半径大于a）
B-0b
rx
cosBcosB
3•子午、卯酉两曲率半径的关系
当B=90°
时，仝“，即极点处
M
M=N
ecosB
21
1—e
.22
ecosB亠1
—。
—称为极半径。
bb
三、任意方向（大地方位角A）法截弧的曲率半径Ra
1•大地方位角定义
PQ方向的大地方位角Apq为：
过P点法线和Q点的平面，与P点子午面之间的夹角（由正北顺时针计）。
2•大地方位角为A的法截弧曲率半径
欧拉公式：
丄一空△•泄△
RAMN
故：
MN
RA22
NcosA+MsinA
Ra=0°
=M;
Ra=90°
=N
O
A：
0〜90°
〜180。
时，Ra：
M〜N〜M——曲率半径具有对称性,率半径。
即对称位置的法截弧在
P点有相同的曲
四、平均曲率半径R
1•平均曲率半径定义
设过P点可以做2n/"
A个法截线，各法截线的大地方位角为:
"
A,2"
A,…，2n—"
A;
过P点的各法截线曲率半径平均值为:
2-A
'
RaR10
2la
0,
则平均曲率半径
2二_A、RA
R=limRi=lim―0
2ZM2兀M
2•平均曲率半径计算公式
二2
R=4
MNdA
221
NcosA亠MsinA2二
（顾及曲率半径的对称性）
将上式改化成12dt二arctant的形式，分子、分母除以.MN，有:
」1+t2
71
R上.
0JN2.
cosA
.M
dA
sin2A
分母提取公因式
x
22MN
R二一
兀0J^cos2A（1+（悟tanA）2）
.MN
工
22.MN
—IJ—
二0M2
01（.tanA）2
\N
M1
Ncos2A
设t二MtanA，dt=M12dA，积分上下限也变，则
.NNcos2A
2、严dt2.002.兀
R=—、，'
MN[=—jMN（arctant）=—t'
MN（—
兀101+t兀o兀2
所以，平均曲率半径Rny'
7.3浏览7.3.3主曲率半径的计算；
7.3.6及表7-4、7-5
1子午曲率半径和卯酉曲率半径，当B由0〜90°
时的变化；
2子午曲率半径和卯酉曲率半径的大小关系；
3什么是大地方位角？
—0）=JMN
4弧长的计算
一、子午线长度
由图知：
dS=MdB
口口Ic/jt222-3/2
即：
dS=a（1—e）（1—esinB）dB
子午线
P1
B2B2B222232
Sb：
=BdS=Ba（1_e）（1_esinB）_dB
2B22232
=a（1_e）（1_esinB）-dB
LB1
求积分过程：
1）将积分项用二项式定理（形如下式）展开：
（1—x）n=1—nx+（1/2!
）n（n-1）x-（1/3!
）n（n-1）（n—2）x+…
2）应用三角函数积分递推公式逐项积分（先将正弦指数函数化为余弦的倍角函数，形如下式）
sinB=1/2-（cos2B）/2
3）整理合并同类项，得子午线上弧长P16,7-97式。
该式B1=0（即从赤道起算的子午弧长公式）
当弧长Sw40km，可把子午圈视为圆弧，圆的半径为其中纬度Bm=（B1+B2）/2处的子午曲率半径
Mm,则子午弧长公式为：
S=Mm（B2—B1）/p。
该式精度当Sw40km时，可达1mm。
因所处纬度B不同而不同。
二、平行圈长度
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