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(2)但由于调查的完备性,给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的,即以X的给定值为条件的Y的条件分布(Conditionaldistribution)是已知的,如:
P(Y=561|X=800)=1/4。
因此,给定收入X的值Xi,可得消费支出Y的条件均值(conditionalmean)或条件期望(conditionalexpectation):
E(Y|X=Xi),该例中:
E(Y|X=800)=605,分析:
描出散点图发现:
随着收入的增加,消费“平均地”也在增加,且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。
这条直线称为总体回归线。
概念:
在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线(populationregressionline),或更一般地称为总体回归曲线(populationregressioncurve)。
称为总体回归函数(populationregressionfunction,PRF)。
相应的函数:
由于变量间关系的随机性,回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值,考察被解释变量的均值,即当解释变量取某个确定值时,与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。
回归函数(PRF)说明被解释变量Y的平均状态(总体条件期望)随解释变量X变化的规律。
含义:
函数形式:
可以是线性或非线性的。
例2.1中,将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时:
为一线性函数。
其中,0,1是未知参数,称为回归系数(regressioncoefficients)。
三、随机扰动项,总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下,该社区家庭平均的消费支出水平。
但对某一个别的家庭,其消费支出可能与该平均水平有偏差。
称i为观察值Yi围绕它的期望值E(Y|Xi)的离差(deviation),是一个不可观测的随机变量,又称为随机干扰项(stochasticdisturbance)或随机误差项(stochasticerror)。
记,例2.1中,个别家庭的消费支出为:
(*)式称为总体回归函数(方程)PRF的随机设定形式。
表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外,还受其他因素的随机性影响。
(1)该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi),称为系统性(systematic)或确定性(deterministic)部分。
(2)其他随机或非确定性(nonsystematic)部分i。
即,给定收入水平Xi,个别家庭的支出可表示为两部分之和:
(*),由于方程中引入了随机项,成为计量经济学模型,因此也称为总体回归模型。
随机误差项主要包括下列因素的影响:
1)在解释变量中被忽略因素影响;
2)变量观测值的观测误差的影响;
3)模型关系的设定误差的影响;
4)其它随机因素的影响。
产生并设计随机误差项的主要原因:
1)理论的含糊性:
收入影响支出,但还有其它影响因素吗?
2)数据的欠缺;
3)核心变量与周边变量:
把一些次要因素联合考虑。
4)节省原则:
基本解释,且没有达到引进一切因素的能力。
四、样本回归函数(SRF),问题:
能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗?
如果可以,如何从抽样中获得总体近似信息?
问:
能否从该样本估计总体回归函数PRF?
例2.2:
在例2.1的总体中有如下一个样本,,总体的信息往往无法掌握,现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本。
样本的散点图(scatterdiagram):
样本散点图近似于一条直线,画一条直线以尽好地拟合该散点图,由于样本取自总体,该线可以近似地代表总体回归线。
该线称为样本回归线(sampleregressionlines)。
记样本回归线的函数形式为:
称为样本回归函数(sampleregressionfunction,SRF)。
这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代,则,注意:
样本回归函数的随机形式/样本回归模型:
同样地,样本回归函数也有如下随机形式:
由于方程中引入了随机项,成为计量经济模型,因此也称为样本回归模型(sampleregressionmodel)。
回归分析的主要目的:
根据样本回归函数SRF,估计总体回归函数PRF。
注意:
这里PRF可能永远无法知道。
即,根据,估计,2.2一元线性回归模型的参数估计,一、一元线性回归模型的基本假设二、参数的普通最小二乘估计(OLS)三、最小二乘估计量的性质四、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计,回归分析的主要目的是要通过样本回归函数(模型)SRF尽可能准确地估计总体回归函数(模型)PRF。
估计方法有多种,其种最广泛使用的是普通最小二乘法(ordinaryleastsquares,OLS)。
为保证参数估计量具有良好的性质,通常对模型提出若干基本假设。
一、线性回归模型的基本假设,假设1,2,3;
随机误差项具有零均值、同方差和无序列相关性:
E(i)=0i=1,2,nVar(i)=2i=1,2,nCov(i,j)=0iji,j=1,2,n,凡模型中不显含的、归属于误差项的因素,对Y的均值没有系统影响,正负抵消。
只考虑Xi对Yi的影响关系,若t和t-1有关,则Yi不仅与Xi有关,还与t-1有关。
并不是对应不同X的Y值同样重要,要根据其离均值的远近判断其可靠程度。
同方差的要求:
对应于不同X的Y具有相同的重要性。
X,Y,X,Y,研究消费与支出关系时,地域差别影响很大;
收入大的消费支出的差异更大,假设4、随机误差项与解释变量X之间不相关:
Cov(Xi,i)=0i=1,2,n,假定X和对Y有各自的影响,且是可加的。
若相关,则一些实际是由于误差项引起的变异可能归因于解释变量X所引起的。
如果随机误差项与X正相关,则估计的系数可能大于没有正相关时的系数估计。
假设5、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布iN(0,2)i=1,2,n,观测次数必须大于待估计参数个数;
变量必须在变,等等。
以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯(Gauss)假设,满足该假设的线性回归模型,也称为经典线性回归模型(ClassicalLinearRegressionModel,CLRM)。
二、参数的普通最小二乘估计(OLS),给定一组样本观测值(Xi,Yi)(i=1,2,n)要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.,普通最小二乘法(Ordinaryleastsquares,OLS)给出的判断标准是:
二者之差的平方和,最小。
方程组(*)称为正规方程组(normalequations)。
记,上述参数估计量可以写成:
称为OLS估计量的离差形式(deviationform)。
由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的,故称为普通最小二乘估计量(ordinaryleastsquaresestimators)。
顺便指出,记,则有,可得,(*)式也称为样本回归函数的离差形式。
(*),注意:
在计量经济学中,往往以小写字母表示对均值的离差。
例2.2.1:
在上述家庭可支配收入-消费支出例中,对于所抽出的一组样本数,参数估计的计算可通过下面的表2.2.1进行。
因此,由该样本估计的回归方程为:
无偏性1、无偏估计量:
如果估计量的期望值等于被估计的参数,即,则称估计量为该参数的无偏估计(或称估计量具有无偏性)。
2、估计参数的偏差,有效性人们希望一个估计量是无偏的,也希望它与均值之间的离散程度很小,即尽可能小。
如果一个无偏估计量的方差小于任何其它无偏估计量的方差,则称是一个有效的无偏估计量(或无偏估计具有有效性)。
一致性人们还讨论在大样本情况下,估计量的渐近性质。
即当样本容量增加时,估计量不等于被估计参数的概率变得非常小。
即对任意的正数有也就是说,依概率收敛于。
记一致估计:
如果依概率收敛于,则是的一致估计(或称估计量具有一致性)。
直观地说,当样本容量增到任意大时,估计量的概率分布都落在同一点(参数的真值)上。
一个用于考察总体的估计量,可从如下几个方面考察其优劣性:
(1)线性性,即它是否是另一随机变量的线性函数;
(2)无偏性,即它的均值或期望值是否等于总体的真实值;
(3)有效性,即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。
这三个准则也称作估计量的小样本性质。
拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量(bestlinerunbiasedestimator,BLUE)。
(4)渐近无偏性,即样本容量趋于无穷大时,是否它的均值序列趋于总体真值;
(5)一致性,即样本容量趋于无穷大时,它是否依概率收敛于总体的真值;
(6)渐近有效性,即样本容量趋于无穷大时,是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。
当不满足小样本性质时,需进一步考察估计量的大样本或渐近性质:
三、最小二乘估计量的性质,当模型参数估计出后,需考虑参数估计值的精度,即是否能代表总体参数的真值,或者说需考察参数估计量的统计性质。
证:
易知,故,同样地,容易得出,四、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计,2、随机误差项的方差2的估计,由于随机项i不可观测,只能从i的估计残差ei出发,对总体方差进行估计。
2又称为总体方差。
可以证明,2的最小二乘估计量为,它是关于2的无偏估计量。
拟合优度;
修正拟合优度;
回归方程标准差;
残差平方和;
似然函数的对数;
DW统计量;
被解释变量平均值;
被解释变量标准差;
赤池信息准则;
施瓦兹信息准则;
F统计量;
F统计量的显著性水平,最重要,拟合优度;
回归方程标准差(随机项u);
被解释变量平均值;
F统计量的显著性水平,回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真实参数,或者说是用样本回归线代替总体回归线。
尽管从统计性质上已知,如果有足够多的重复抽样,参数的估计值的期望(均值)就等于其总体的参数真值,但在一次抽样中,估计值不一定就等于该真值。
那么,在一次抽样中,参数的估计值与真值的差异有多大,是否显著,这就需要进一步进行统计检验。
主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验及参数的区间估计。
一、拟合优度检验,问题:
采用普通最小二乘估计方法,已经保证了模型最好地拟合了样本观测值,为什么还要检验拟合程度?
拟合优度检验:
对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。
度量拟合优度的指标:
判定系数(可决系数)R2,2.3一元线性回归模型的统计检验,1、总离差平方和的分解,已知由一