高考数学一轮复习单元练习圆锥曲线与方程文档格式.docx

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C．一条抛物线上D．一个圆上

图17－1

【答案】B

5．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）

A．（1,2）B．（－1,2）

C．（2，＋∞）D．[2，＋∞）

6．过点P（－3,0）的直线l与双曲线－＝1交于点A，B，设直线l的斜率为k1（k1≠0），弦AB的中点为M，OM的斜率为k2（O为坐标原点），则k1·

k2＝（　　）

A．B．C．D．16

【答案】A

7．设双曲线－＝1（a>

0）的渐近线方程为3x±

2y＝0，则a的值为（　　）

A．4B．3

C．2D．1

8．与圆x2＋y2－2y－1＝0关于直线x－2y－3＝0对称的圆的方程是（　　）

A．（x－2）2＋（y＋3）2＝

B．（x－2）2＋（y＋3）2＝2

C．（x＋2）2＋（y－3）2＝

D．（x＋2）2＋（y－3）2＝2

9．若直线mx＋ny＝4与圆O：

x2＋y2＝4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆＋＝1的交点个数为（　　）

A．至多一个B．2

C．1D．0

10．已知双曲线－＝1（a>

0，b>

0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1），则双曲线的焦距为（　　）

A．2B．2

C．4D．4

11．已知直线与抛物线C:

相交A、B两点，F为C的焦点。

若,则k=

A．B）C．D．

12．已知直线与抛物线C:

相交A、B两点，F为C的焦点.若，则k=（　　）

II卷

二、填空题

13．双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±

2x，则n＝________.

【答案】

14．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>

b，则双曲线－＝1的离心率e等于________．

【答案】

15．如图，过抛物线y＝x2的焦点的直线交抛物线与圆x2＋（y－1）2＝1于A、B、C、D四点，则AB·

CD＝______.

【答案】1

16．椭圆的离心率为，若直线与其一个交点的横坐标为，则的值为

三、解答题

17．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）．

（1）求双曲线方程；

（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：

MF1⊥MF2；

（3）求△F1MF2的面积．

（1）由e＝⇒＝⇒c2＝2a2⇒a2＝b2.

设双曲线方程为x2－y2＝λ，

将点（4，－）代入得：

λ＝6，

故所求双曲线方程为x2－y2＝6.

（2）∵c2＝12，∴焦点坐标为（±

2，0）

将M（3，m）代入x2－y2＝6得：

m2＝3.

当m＝时，＝（－2－3，－），

＝（2－3，－）

∴·

＝（－3）2－

（2）2＋（－）2＝0，

∴MF1⊥MF2，

当m＝－时，同理可证MF1⊥MF2.

（3）S△F1MF2＝·

|2c|·

|m|＝·

4·

＝6.

18．如图16－3，已知点D（0，－2），过点D作抛物线C1：

x2＝2py（p>

0）的切线l，切点A在第二象限，如图16－3.

（1）求切点A的纵坐标；

（2）若离心率为的椭圆＋＝1（a>

b>

0）恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1＋2k2＝4k，求椭圆方程．

图16－3

（1）设切点A（x0，y0），且y0＝，由切线l的斜率为k＝，得l的方程为y＝x－，又点D（0，－2）在l上，

∴＝2，即切点A的纵坐标为2.

（2）由

（1）得A（－2，2），切线斜率k＝－，

设B（x1，y1），切线方程为y＝kx－2，由e＝，得a2＝4b2，

所以设椭圆方程为＋＝1，且过A（－2，2），

∴b2＝p＋4.

由⇒（1＋4k2）x2－16kx＋16－4b2＝0，

k1＋2k2＝＋＝＝

将k＝－，b2＝p＋4代入得p＝32，所以b2＝36，a2＝144，

所以椭圆方程为＋＝1.

19．已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点.

①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；

②已知点，求证：

为定值.

（Ⅰ）因为满足，，

。

解得，则椭圆方程为

（Ⅱ）

（1）将代入中得

因为中点的横坐标为，所以，解得

（2）由

（1）知，

所以

20．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

（1）曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1），与x轴的交点为（3＋2，0），（3－2，0）．

故可设C的圆心为（3，t），则有32＋（t－1）2＝

（2）2＋t2，解得t＝1.

则圆C的半径为＝3.

所以圆C的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组：

消去y，得到方程2x2＋（2a－8）x＋a2－2a＋1＝0.

由已知可得，判别式△＝56－16a－4a2＞0.

由韦达定理得

x1＋x2＝4－a，x1x2＝．　　　　　①

由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以

2x1x2＋a（x2＋x2）＋a2＝0.②

由①，②得a＝－1，满足Δ>

0，故a＝－1.

21．已知向量=（0，x），=（1，1），=（x，0），=（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量=+，=－，且，点P（x，y）的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.

（I）由已知，

即所求曲线的方程是：

（Ⅱ）由

解得x1=0,x2=分别为M，N的横坐标）.

由

所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.

22．已知椭圆C：

＋＝1（a>

0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为．

（1）求a，b的值；

（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；

若不存在，说明理由．

（1）设F（c,0），当l的斜率为1时，

其方程为x－y－c＝0，O到l的距离为＝，

故＝，c＝1.

由e＝＝，得a＝，b＝＝．

（2）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，

有＝＋成立．

由

（1）知C的方程为2x2＋3y2＝6.

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝k（x－1）．

C上的点P使＝＋成立的充要条件是P点的坐标为（x1＋x2，y1＋y2），且2（x1＋x2）2＋3（y1＋y2）2＝6，

整理得2x＋3y＋2x＋3y＋4x1x2＋6y1y2＝6.

又A、B在C上，即2x＋3y＝6,2x＋3y＝6.

故2x1x2＋3y1y2＋3＝0.①（8分）

将y＝k（x－1）代入2x2＋3y2＝6，并化简得

（2＋3k2）x2－6k2x＋3k2－6＝0，

于是x1＋x2＝，x1·

x2＝，

y1·

y2＝k2（x1－1）（x2－1）＝．

代入①解得，k2＝2.此时x1＋x2＝．

于是y1＋y2＝k（x1＋x2－2）＝－，即P（，－）．

因此，当k＝－时，P（，），

l的方程为x＋y－＝0；

当k＝时，P（，－），

l的方程为x－y－＝0.

②当l垂直于x轴时，由＋＝（2,0）知，C上不存在点P使＝＋成立．

综上，C上存在点P（，±

）使＝＋成立，此时l的方程为x±

y－＝0.