高考数学考点归纳之函数的奇偶性与周期性文档格式.docx

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周期函数定义的实质

存在一个非零常数T，使f（x＋T）＝f（x）为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．

（2）最小正周期

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

二、常用结论

1．函数奇偶性常用结论

（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；

如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（|x|）．

（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；

偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

（3）在公共定义域内有：

奇±

奇＝奇，偶±

偶＝偶，奇×

奇＝偶，偶×

偶＝奇．

2．函数周期性常用结论

对f（x）定义域内任一自变量x：

（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a>

0）．

（2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a>

（3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a>

3．函数图象的对称性

（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，即f（a－x）＝f（a＋x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．

（2）若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．

（3）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，即f（－x＋b）＋f（x＋b）＝0，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称．

[典例]　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝；

（2）f（x）＝＋；

（3）f（x）＝；

（4）f（x）＝

[解]　

（1）由f（x）＝，可知⇒故函数f（x）的定义域为（－6,0）∪（0,6]，定义域不关于原点对称，故f（x）为非奇非偶函数．

（2）由⇒x2＝1⇒x＝±

1，故函数f（x）的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f（x）＝0，所以f（－x）＝f（x）＝－f（x），所以函数f（x）既是奇函数又是偶函数．

（3）由⇒－1<

x<

0或0<

1，

定义域关于原点对称．

此时f（x）＝＝＝－，

故有f（－x）＝－＝＝－f（x），

所以函数f（x）为奇函数．

（4）法一：

图象法

画出函数f（x）＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f（x）为偶函数．

法二：

定义法

易知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，

当x>

0时，f（x）＝x2－x，则当x<

0时，－x>

0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）；

当x<

0时，f（x）＝x2＋x，则当x>

0时，－x<

0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函数是偶函数．

法三：

f（x）还可以写成f（x）＝x2－|x|（x≠0），故f（x）为偶函数．

[题组训练]

1．（2018·

福建期末）下列函数为偶函数的是（　　）

A．y＝tan　　　　　B．y＝x2＋e|x|

C．y＝xcosxD．y＝ln|x|－sinx

解析：

选B　对于选项A，易知y＝tan为非奇非偶函数；

对于选项B，设f（x）＝x2＋e|x|，则f（－x）＝（－x）2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f（x），所以y＝x2＋e|x|为偶函数；

对于选项C，设f（x）＝xcosx，则f（－x）＝－xcos（－x）＝－xcosx＝－f（x），所以y＝xcosx为奇函数；

对于选项D，设f（x）＝ln|x|－sinx，则f

（2）＝ln2－sin2，f（－2）＝ln2－sin（－2）＝ln2＋sin2≠f

（2），所以y＝ln|x|－sinx为非奇非偶函数，故选B.

2．设函数f（x）＝，则下列结论错误的是（　　）

A．|f（x）|是偶函数

B．－f（x）是奇函数

C．f（x）|f（x）|是奇函数

D．f（|x|）f（x）是偶函数

选D　∵f（x）＝，

则f（－x）＝＝－f（x）．

∴f（x）是奇函数．

∵f（|－x|）＝f（|x|），

∴f（|x|）是偶函数，∴f（|x|）f（x）是奇函数．

[典例]　

（1）（2019·

福建三明模拟）函数y＝f（x）是R上的奇函数，当x<

0时，f（x）＝2x，则当x>

0时，f（x）＝（　　）

A．－2x　　　　　　　　　B．2－x

C．－2－xD．2x

（2）（2018·

贵阳摸底考试）已知函数f（x）＝a－（a∈R）是奇函数，则函数f（x）的值域为（　　）

A．（－1,1）B．（－2,2）

C．（－3,3）D．（－4,4）

[解析]　

（1）当x>

0，∵x<

0时，f（x）＝2x，∴当x>

0时，f（－x）＝2－x.∵f（x）是R上的奇函数，∴当x>

0时，f（x）＝－f（－x）＝－2－x.

（2）法一：

由f（x）是奇函数知f（－x）＝－f（x），所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f（x）＝1－.因为ex＋1>

1，所以0<

<

1，－1<

1－<

1，所以函数f（x）的值域为（－1,1）．

函数f（x）的定义域为R，且函数f（x）是奇函数，所以f（0）＝a－1＝0，即a＝1，所以f（x）＝1－.因为ex＋1>

[答案]　

（1）C　

（2）A

[解题技法]

应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法

（1）求函数值

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

（2）求解析式

先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式．

（3）求函数解析式中参数的值

利用待定系数法求解，根据f（x）±

f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值．

（4）画函数图象和判断单调性

利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．

1．（2019·

贵阳检测）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝log2（x＋2）－1，则f（－6）＝（　　）

A．2B．4

C．－2D．－4

选C　根据题意得f（－6）＝－f（6）＝1－log2（6＋2）＝1－3＝－2.

2．已知函数f（x）为奇函数，当x>

0时，函数f（x）的最大值为________．

法一：

0，所以f（－x）＝x2＋x.又因为函数f（x）为奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝－x2－x＝－2＋，所以当x<

0时，函数f（x）的最大值为.

0时，f（x）＝x2－x＝2－，最小值为－，因为函数f（x）为奇函数，所以当x<

答案：

3．（2018·

合肥八中模拟）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝________.

∵f（x）＝xln（x＋）为偶函数，

∴f（－x）＝f（x），即－xln（－x）＝xln（x＋），从而ln[（）2－x2]＝0，即lna＝0，故a＝1.

1

[典例]　

（1）（2018·

开封期末）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝－f（x＋2），当x∈（0,2]时，f（x）＝2x＋log2x，则f（2019）＝（　　）

A．5　　　　　　　　　　B.

C．2D．－2

江苏高考）函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x）（x∈R），且在区间（－2,2]上，f（x）＝则f（f（15））的值为________．

[解析]　

（1）由f（x）＝－f（x＋2），得f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2019）＝f（504×

4＋3）＝f（3）＝f（1＋2）＝－f

（1）＝－（2＋0）＝－2.

（2）由函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x）（x∈R），

可知函数f（x）的周期是4，

所以f（15）＝f（－1）＝＝，

所以f（f（15））＝f＝cos＝.

[答案]　

（1）D　

（2）

[题组训练]

山西八校联考）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x＋2）＝－，当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f＝________.

∵f（x＋2）＝－，∴f（x＋4）＝f（x），

∴f＝f，又2≤x≤3时，f（x）＝x，

∴f＝，∴f＝.

2．（2019·

哈尔滨六中期中）设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1）时，f（x）＝则f＝________.

由题意可得f＝f＝f＝4×

2－2＝，f＝.

A级

1．下列函数为奇函数的是（　　）

A．f（x）＝x3＋1　　　　　　B．f（x）＝ln

C．f（x）＝exD．f（x）＝xsinx

选B　对于A，f（－x）＝－x3＋1≠－f（x），所以其不是奇函数；

对于B，f（－x）＝ln＝－ln＝－f（x），所以其是奇函数；

对于C，f（－x）＝e－x≠－f（x），所以其不是奇函数；

对于D，f（－x）＝－xsin（－x）＝xsinx＝f（x），所以其不是奇函数．故选B.

南昌联考）函数f（x）＝的图象（　　）

A．关于x轴对称B．关于y轴对称

C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称

选B　因为f（x）＝＝3x＋3－x，易知f（x）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于y轴对称．

3．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝则f（－7）＝（　　）

A．3B．－3

选B　因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，

且f（x）＝

所以f（－7）＝－f（7）＝－log2（7＋1）＝－3.

4．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝ex，则g（x）＝（　　）

A．ex－e－xB.（ex＋e－x）

C.（e－x－ex）D.（ex－e－x）

选D　因为f（x）＋g（x）＝ex，所以f（－x）＋g（－x）＝f（x）－g（x）＝e－x，

所以g（x）＝（ex－e－x）．

5．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x2－x，则f＝（　　）

A．－B．－

C.D.

选C　因为f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f.又当0≤x≤1时，f（x）＝x2－x，所以f＝2－＝－，则f＝.

6．（2019·

益阳、湘潭调研）定义在R上的函数f（x），满足f（x＋5）＝f（x），当x∈（－3,0]时，f（x）＝－x－1，当x∈（0,2]时，f（x）＝log2x，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2019）的值等于（　　）

A．403B．405

C．806D．809

选B　定义在R上的函数f（x），满足f（x＋5）＝f（x），即函数f（x）的周期为5.又当x∈（0,2