二次函数的存在性问题之菱形含答案文档格式.docx

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（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N

若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？

若存在，请直接写出点D的坐标；

注：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）

5.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、

OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA>

OB．

（2）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？

若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请

说明理由．

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右

（2）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？

若能，求出点N的坐标；

若不能，请

（2）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、

M、N为顶点的四边形是菱形？

若存在，请求出点N的坐标；

若不存在，请说

明理由．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．

9.如图，抛物线y=x2﹣x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），

10.抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点

11.

2）若∠PBA=∠OBC，求点

（2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MOM′C，那么是否存在点M，使四边形MOM′C为菱形？

若存在，求出此时点M的坐标；

若不存在，说明理由；

C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两

P的坐标；

（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？

若不能，请说明理由．

12.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

1）试求抛物线的解析式；

（2）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以

点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？

若存在，求出所有符合条件的点N

13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与X轴交于点A、

B两点B处的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，﹣3），点P是直线BC下方

（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？

若存在，求出点P的坐标，若存在，请说明理由；

14.如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．

15.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B

两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．

1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？

若存在，请求出此时点P的坐标；

若不存

在，请说明理由．

（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；

（2）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；

若不能，请说明理由．

16.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A、

B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，过点B作BC的垂线，交对称轴于点E．

（1）求证：

点E与点D关于x轴对称；

（2）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移

后的对应点为D′，点A的对应点A′，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面内找一点G，若以F′、G、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．

（1）求线段的长；

（2）点为线段上方抛物线上的任意一点，过点作的垂线交于点，点为轴上一点，当的面积最大时，求

的最小值；

（3）在

（2）中，取得最小值时，将绕点顺时

针旋转后得到,过点作的垂线与直线交于点

，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.

17.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，

0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交

（2）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？

请直接写出t的值．

18.已知，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A（-3，0）和B（2，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，若点D为直线BC或直线AC上的一点，E为x轴上一动点，抛物线对称轴上是否存在点F，使以B，D，F，E为顶点的四边形为菱形？

若存在，请求出点F的坐标；

、综合题

答案解析部分

1.【答案】

（1）解：

∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，

在抛物线上，

，解得：

，抛物线解析式为

0）

∵四边形BNDM是菱形，

∴MN垂直平分BD，

y=x2﹣x﹣2；

（2）解：

令y=x2﹣x﹣2=0，解得：

x1=﹣2，x2=4，

∴B（4，0），C（0，

﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，

当x=0时，y=﹣2，

，解

得：

，∴y=

x﹣2，

∴n=4+

，，

∴M（

∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；

设D（m，0），

∵DP∥y轴，

∴E（m，m﹣2），

P（m，m2﹣m﹣2），

∵OD=4PE，

2

∴m=4（m2

∴m=5，m=0（舍去），

m﹣2﹣m+2），

∴D（5，

0），P（5，

∴四边形

POBE的面积

），E（5，），

=S△OPD﹣S△EBD=×

5×

﹣1×

=；

②以BD为边，如图2，

3）解：

存在，设M（n，n﹣2），

①以BD为对角线，如图1，

∵四边形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，

∴MH2+DH2=DM2，

n2=4﹣，

即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，∴n1=4（不合题意），n2=5.6，∴N（4.6，），

同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，

∴n1=4+（不合题意，舍去），

∴N（5﹣，），

③以BD为边，如图3，

过M作MH⊥x轴于H，

∴MH2+BH2=BM2，

即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，

【解析】【分析】

（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；

（2）根据函数解析式得到B（4，

0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣

）；

②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．

2.【答案】

（1）解：

直线解析式，令，得；

令

，得．∴、．∵点、在抛物线

上，∴，解得，∴抛物线解析式

为：

．令，解得：

或

，∴．

（2）解：

，设，①当时，如答图

所示．

∵，∴，故点满足条件．过点

作轴于点，则，，∴．

，∴，∴直线的解析式为：

．联立与，得：