傅里叶级数课程及习题讲解文档格式.docx
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cosnx
cosmx
cosnxdx
mnmn
cosnx
cosnxdx
7
1,1
12dx
2
由于
所以三角函数系在,上具有正交性，故称为正交系.
利用三角函数系构成的级数
称为三角级数，其中a0,a1,b1,|||,an,bn,|||为常数
2以2为周期的傅里叶级数
定义1设函数f（x）在,上可积,
ak
—（f（x）,coskx）
f（x）coskxdx
k0,1,2,|||;
bk丄（f（x）,sinkx）—f（x）sinkxdx
定义3设f（x）在（称f（x）为的周期延拓.
k1,2川，
称为函数f（x）的傅里叶系数，而三角级数称为f（x）的傅里叶级数，记作
2n1
其中务,0为f（x）的傅里叶系数.
定义2如果f（x）C［a，b］，则称f（x）在［a，b］上光滑.若
x［a,b）,f（x0）,f（x0）存在；
x（a,b］,f（x0），f（x0）存在，
且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称f（x）在［a,b］上按段光滑.
几何解释如图.
按段光滑函数图象是由有限条
光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点.
推论如果f（x）是以为周期的连续函数，且在x［,］上按
段光滑，则xR，
f（x）ancosnxbnsinnx
有2n1
］上有定义，函数
二习题解答
1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数
（1）f（x）x,（i）x,（ii）0x2；
解：
（i）、f（x）=x，x（，）作周期延拓的图象如下.其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.
由系数公式得
11
a0f（x）dxxdx0
】xcosnx|
cosnxdx
（1）n1—
n
八n1sinnx
1）
f（x）
所以
（ii）、f（x）=x,x（0,2）作周期延拓的图象如下.其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.
12
0f（x）dx
（，）为所求.
a。
xdx2
1时，
xsinnx|
n0
sinnxdx
——xcosnxn
f（x）
I0
sinnx
•>
（0,2）为所求.
（ii）0<
x<
2n；
）作周期延拓的图象如下.
（2）
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得
f（x）=
（i）、f（x）=
（i）
x
n<
a0
f（x）dx
x<
n
x2
dx-
3
2.—xcosnx|n
2~2n
n£
2xsinnx|
1）nsinnx
1）2~
其按段光滑，故可展开为由系数公式得
（ii）、f（x）=x
4
当n1时,
~2-
（x）dx
■cr
xcosnx|0
—xsinnx|n|0
）为所求.
（0,2）作周期延拓的图象如下.
82
3-
~~2n
所以f（x）
x（0,2）为所求.
ax
bx
（ab,a
（3）解：
函数f（x）其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得
0,b0）
）作周期延拓的图象如下.
ao
10
—axdx
1bxdx
（ba）
当n1时，
（ba）~4__
2（ba）
2cos（2n
1）2
1）x
（ab）
n1
（1）n
1sinnx
an
n,x（,）为所求.
是以2为周期的可积函数，证明对任何实数c,有
1f（x）cosnxdx,n0,1,2,|||
c2
f（x）cosnxdx
bn
f（x）sinnxdx
f（x）sinnxdx,n1,2,卅
证:
因为f（x），sinnx，
cosnx都是以2为周期的可积函数，所以令tx2有
1c+2
f（t）cosntdtf（x）cosnxdx
c+2
从而an
f（x）cosnxdx
同理可得
f（x）sinnxdxf（x）sinnxdx
3把函数
-11
43
展开成傅里叶级数，并由它推出
（1）
III；
5
丄
11
13
17
（3）6
函数f（x）,
r
1II
57111317
x（,）作周期延拓的图象如下.
01
——dxdx
404
n1时,
—cosnxdx
cosnxdx0
04
[1
2k
故f（x）
（1）
1sin（2nn12n1
2，则4
1-
35
于是3412
1）X,
0）（0,
）为所求.
3，则4
57
川得
12
丄丄
1113
111
39
15
21
III
4设函数什么特性.
因为f（x）满足条件f（xf（x）
f（x）满足条件
f（x
，问此函数在
内的傅里叶级数具有
所以f（x2）1
于是由系数公式得
f（x）
f（t）dt-
即f（x）是以2为周期的函数.
f（x）dx0
2k1
故当f（x）f（x）时，函数f（x）在,内的傅里叶级数的特性是a2k0,b2k0.
5设函数f（x）满足条件：
f（x）f（x），问此函数在，内的傅里叶级数具有
什么特性.
解:
因为'
f（x）满足条件
）
2）f（x）
“,即
!
卩f（x）
是以2为周期的函数.于是由系数公式得
丄f
：
（t）dt-
0f（
x）dx
f（x）dx
当n
f（x）sinnxdx
故当
）f（x）时，
函数
在
内的傅里叶级数的特性是已2「0,
6试证函数系cosnx,n0,,2j||和sinnx,n1,2,|||都是［0，］上的正交函数系，但他们合起来的却不是【°
，］上的正交函数系.
证：
就函数系｛1,cosx,cos2xJ||,cosnxJ||｝,
〈1,1）dx
因为n，-0,
cosnx,cosnx'
。
c°
s2nxdx
（cos2nx1）dx—
202,
又1,cosnx
m,nm
-cos（m
20
n时,
所以｛1,cosx,cos2x,就函数系｛sin因为n,
sinnx,sinnx
sin2nxdx
又m,n,m
cos（m
20所以｛sinx,sin2x,|||,sinnx,
n）xdx
cos（mn）xdx0
lll｝在【°
］上是正交系.
但｛1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,川,sinnx,cosnx.
hi｝不是［o,
］上的正交系.
实因:
0sinxdx10
7求下列函数的傅里叶级数展开式
0x2
1时,
（1）f（x）
」sinnx|2
2n0
2n
-cosnx12
sinnx
1n
.1cosx,
（0,2）为所求.
f（x）,1cosx,
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.
x作周期延拓的图象如下.
f（x）1cosx
2sin2》
因为
所以由系数公式得
sin-dx—
0sin|dx
22
sin—cosnxdx
02
42
（4n21）
sin-sinnxdx
sin^sinnxdx
2cosnxn14n1
f（
时,
0）f（
2,24.2
n14n2
⑶
f（x）ax2bxc,（i）0
2,（ii）
，］为所求.
（ii）
（i）由系数公式得
o（ax2bx
4a
c）d
2b
2c
f（x）ax
2cosnxn
4a2b.
sinnx.
（0,2
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