届高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算学案文档格式.docx

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关系　　

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相等

集合A与集合B中的所有元素相同

A⊆B且B⊆A⇔A＝B

子集

A中任意一个元素均为B中的元素

A⊆B或B⊇A

真子集

A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素

AB或BA

空集

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

∅⊆A∅B（B≠∅）

考点3　集合的基本运算

[必会结论]

1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.

2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．A∩（∁UA）＝∅；

A∪（∁UA）＝U；

∁U（∁UA）＝A.

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）集合{x|y＝}与集合{y|y＝}是同一个集合．（　　）

（2）已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1或m＝.（　　）

（3）M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>

ρ}，要使M∩N＝∅，则ρ所满足的条件是ρ≥1.（　　）

（4）若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中有4个元素．（　　）

（5）若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．（　　）

答案　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）×

　（5）×

2．[2017·

北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝（　　）

A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3}

C．{x|－1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}

答案　A

解析　∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，

∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.

3．[课本改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<

x≤4}，则A∪B＝（　　）

A．[－1,4]B．（0,3]

C．（－1,0]∪（1,4]D．[－1,0]∪（1,4]

解析　A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A∪B＝[－1,4]．选A.

4．[2017·

全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<

1}，B＝{x|3x<

1}，则（　　）

A．A∩B＝{x|x<

0}B．A∪B＝R

C．A∪B＝{x|x>

1}D．A∩B＝∅

解析　∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．

又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．

故选A.

5．[2018·

重庆模拟]已知集合A＝{x∈N|πx<

16}，B＝{x|x2－5x＋4<

0}，则A∩（∁RB）的真子集的个数为（　　）

A．1B．3

C．4D．7

答案　B

解析　因为A＝{x∈N|πx<

16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<

0}＝{x|1<

x<

4}，故∁RB＝{x|x≤1或x≥4}，故A∩（∁RB）＝{0,1}，故A∩（∁RB）的真子集的个数为3.故选B.

板块二　典例探究·

考向突破

考向　集合的基本概念

例1　

（1）[2017·

郑州模拟]已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}，则集合B中元素的个数为（　　）

C．5D．7

答案　C

解析　由题意知A＝{－1,0,1}，当p＝－1，q＝－1，0,1时，p－q＝0，－1，－2；

当p＝0，q＝－1,0,1时，p－q＝1,0，－1；

当p＝1，q＝－1,0,1时，p－q＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B中的元素为－2，－1，0,1,2，共计5个，选C.

（2）已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________.

答案　－1

解析　由A∩B＝{－3}知，－3∈B.

又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.

①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．故a＝0舍去．

②当a－2＝－3时，a＝－1，

此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，

满足A∩B＝{－3}，故a＝－1.

触类旁通

解决集合概念问题的一般思路

（1）研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例

（1）集合B中的代表元素为实数p－q.

（2）要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．

【变式训练1】　

（1）[2018·

昆明模拟]若集合A＝{x|x2－9x<

0，x∈N*}，B＝∈N*，y∈N*，则A∩B中元素的个数为________．

答案　3

解析　解不等式x2－9x<

0可得0<

9，所以A＝{x|0<

9，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又∈N*，y∈N*，所以y可以为1,2,4，所以B＝{1,2,4}，所以A∩B＝B，A∩B中元素的个数为3.

（2）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

答案　－

解析　因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，

此时集合A中有重复元素3，

所以m＝1不符合题意，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1（舍去），

此时当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意．

所以m＝－.

考向　集合间的基本关系

例　2　已知集合A＝{x|x<

－3或x>

7}，B＝{x|x<

2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．

答案　（－∞，－1]

解析　由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是（－∞，－1]．

　本例中的B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，其余不变，该如何求解？

解　当B＝∅时，有m＋1>

2m－1，则m<

2.

当B≠∅时，或

解得m>

6.综上可知m的取值范围是（－∞，2）∪（6，＋∞）．

　本例中的A改为A＝{x|－3≤x≤7}，B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又该如何求解？

解　当B＝∅时，满足B⊆A，此时有m＋1>

2m－1，即m<

2；

当B≠∅时，要使B⊆A，则有解得2≤m≤4.

综上可知m的取值范围是（－∞，4]．

根据两集合的关系求参数的方法

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

【变式训练2】　设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．

（1）若a＝，试判定集合A与B的关系；

（2）若BA，求实数a组成的集合C.

解　

（1）由x2－8x＋15＝0，

得x＝3或x＝5，∴A＝{3,5}．

若a＝，由ax－1＝0，得x－1＝0，即x＝5.

∴B＝{5}．∴BA.

（2）∵A＝{3,5}，又BA，

故若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0；

若B≠∅，则a≠0，由ax－1＝0，得x＝.

∴＝3或＝5，即a＝或a＝.

故C＝.

考向　集合的基本运算

命题角度1　集合的交集及运算

例　3　[2017·

山东高考]设集合M＝{x||x－1|<

1}，N＝{x|x<

2}，则M∩N＝（　　）

A．（－1,1）B．（－1,2）

C．（0,2）D．（1,2）

解析　∵M＝{x|0<

2}，N＝{x|x<

2}，

∴M∩N＝{x|0<

2}∩{x|x<

2}＝{x|0<

2}．

故选C.

命题角度2　集合的并集及运算

例　4　[2018·

武汉模拟]设全集U＝R，集合A＝{x|2x－x2>

0}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B等于（　　）

A．{x|x<

2}B．{x|1<

2}

C．{x|x>

1}D．{x|x>

0}

答案　D

解析　由2x－x2>

0得0<

2，故A＝{x|0<

2}，由y＝ex＋1得y>

1，故B＝{y|y>

1}，所以A∪B＝{x|x>

0}．故选D.

命题角度3　集合的补集及运算

例　5　[2016·

浙江高考]已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（　　）

A．[2,3]

B．（－2,3]

C．[1,2）

D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）

解析　∵Q＝（－∞，－2]∪[2，＋∞），∴∁RQ＝（－2,2），∴P∪（∁RQ）＝（－2,3]．故选B.

命题角度4　抽象集合的运算

例　6　[2018·

唐山统一测试]若全集U＝R，集合A＝≤0，B＝{x|2x<

1}，则下图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{x|2<

3}B．{x|－1≤x<

C．{x|0≤x<

6}D．{x|1≤x≤6}

解析　A＝{x|－1≤x<

6}，B＝{x|x<

0}，A∩（∁UB）＝{x|0≤x<

6}．选C项．

集合的基本运算的关注点

（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．

（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．

核心规律

解决集合问题，要正确理解有关集合的含义，认清集合元素的属性；

再依据元素的不同属性，采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：

（1）若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解；

（2）若给定的集合是点集，用数形结合法求解；

（3）若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．

满分策略

1.元素的属性：

描述法表示集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）是正确求解集合问题的先决条件．

2.元素的互异性：

在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

3.空集的特殊性：

在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，要先考虑∅是否成立，以防漏解.

板块三　启智培优·

破译高考

创新交汇系列1——集合中的创新性问题

[2018·

吉林模拟]设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：

{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.

（1）若M＝{2,3,6}，则∁UM表示的6位字符串为________；

（2）已知A＝{1,3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是________．

解题视点　考查新定义问题，关键是正确理解题目中的新定义，利用集合间的关系及运算解决问题．

解析　

（1）由已知得，∁UM＝{1,4,5}，

则∁UM表示的6位字符串为100110.

（2）由题意可知A∪B＝{1,3,6}，

而A＝{1