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2x1?
x2?
200（4?
3）?
x?
100（4?
4）?
12约束条件有：
?
x?
50（4?
5）?
1
?
x1,x2?
0（4?
6）若只考虑花钱最少，则显然属于线性规划问题，由（4-1），（4-3）至（4-6）
构成它的数学模型；
若只考虑采购数量最多，也是一个线性规划问题，由式（4-2）至（4-6）构成它的数学模型，但现在两者同时都要考虑．显然是一个多目标线性规划问题．
例4-2某工厂在计划期内要生产甲、乙两种产品，现有的资源及两种产品的技术消耗定额、单位利润如表4-1所示．试确定计划期内的生产计划，使利润最大，同时厂领导为适应市场需求，尽可能扩大甲产品的生产，减少乙产品的生产，同时考虑这些问题，就形成多目标规划问题．
表4-1产品的资源、技术消耗定额、单位利润表
钢材（kg）
木材（m3）
设备负荷（台小时）
单位产品利润（元）甲（每件）9.24370乙（每件）4510120现有资源3600201X3000
分析:
设x1,x2分别是计划期内甲、乙产品的产量．则该问题的数学模型为
9.2x1?
4x2?
3600?
4x?
5x?
201X?
12?
3x?
10x?
30002?
0?
Maxy1?
70x1?
120x2?
s.t.?
Maxy2?
Miny?
x22?
对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案．极有可能出现：
第一个方案使第一目标的结果优于第二方案，而对于第二目标，第二方案优于第一方案．就是说很难找到一个方案使所有目标同时达到最优，特别当约束条件中有矛盾方程时，线性规划方法是无法解决的．实践中，人们转而采取“不求最好，但求满意”的策略，在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方法——目标规划．
二、目标规划的基本概念
我们不难得出多目标规划问题的一般形式如下（简记为：
GP1）
Maxy1?
c11x1?
c12x2?
c1nxn?
C1X?
Maxy2?
c21x1?
c22x2?
c2nxn?
C2X（4-7）?
Maxy?
cx?
CXmm11m22mnnm?
s.t?
a11x1?
a12x2?
a1nxn?
b1?
ax?
b2112222nn2?
（4-8）?
bknnk?
k11k22
x1,x2,?
xn?
AX?
B矩阵表示为：
MaxY?
CX,约束条件:
（GP1）（4-9）X?
其他情况：
如目标函数为miny,约束条件为“?
”，都可作适当的变换，调整为（4-9）的形式．下面也称（4-9）式为目标规划的标准型．
定义4-1设R?
XAX?
B,X?
称R为多目标线性规划问题（简记为GP1）的可行解集合或可行解域．
这个定义与线性规划问题中可行解集定义完全一样，因此，R是一个凸集．定义4-2设问题（GP1）的可行解集合非空，X*?
R，且对任意的X?
R都有CX*?
CX，则称X*为问题（GP1）的最优可行解，简称最优解．
最优解实际上是使所有目标同时达到最优值，如图4—1所示
2
0目标2目标1Rx
图4-1目标规划解集示意图
但更多的情况是：
由于多目标之间存在相互矛盾，最优解往往不可能存在，这就要求我们退而求其次，根据目标之间的相对重要程度，分等级和权重，求出相对最优解——有效解（满意解），为此引入以下概念，对目标函数和约束条件作适当处理．
（一）决策变量与偏差变量
决策变量也称控制变量，用x1、x2、?
、xn表示，如例4-1中的x1、x2等．
在多目标规划问题中，由于目标之间存在冲突或约束条件中有矛盾方程，我们可以设想降低目标要求、“放松”严格的约束条件，即从实际出发，根据经验、历史资料或市场的需求、上级部门的任务下达等来给每个目标确定一个希望达到的目标值ei,（i=1，2，?
，m）．一般说来，这些值ei的确定并不要求十分精确或严格，允许决策的实际值大于或小于ei．我们称实际值与目标值的差距为偏差变量（deviationvariable）．用di?
和di?
表示．
di?
——第i个目标的实际值超出目标值的部分，称为正偏差变量．
——第i个目标的实际值不足目标值的差距，称为负偏差变量．规定
0,（i=1，2，?
，m）．
实际操作中，当目标值确定时，所做的决策只可能出现以下三种情况：
即由di?
所构成的3种不同组合表示的含义：
①di?
di?
表示第i个目标的实际值超出目标值；
②di?
0,di?
0表示第i个目标的实际值未达到目标值；
③
并且无论发生哪种情况di?
表示第i个目标的实际值恰好等于目标值．
均有：
．
如在例4-2中，若提出目标y1的期望值e1=45000元，y2的期望值e2=250件，y3的期望值e3=200件，则可引入偏差变量di?
（i=1，2，3）,d?
表示利润超
过45000元的数量，d?
则表示利润距45000元还差的数量，d?
表示甲产品产量
超过250件的部分，?
．这样可得三个目标函数方程
d1?
45000?
d2?
250（4-10）?
d3?
200
d?
d?
112233
（二）目标约束与绝对约束
前面通过确定各目标的目标值、引入偏差变量，把目标函数转化成约束方程，从而并入原约束条件中，我们称这类具有机动余地的约束为目标约束（goalrestrictions）．如例4-2的目标函数转化为目标约束（4-10）．因它具有一定的弹性，
一般目标约束不会不满足，只是可能偏差要大一些，故也称为软约束．
绝对约束（absoluterestrictions）是指必须严格满足的等式或不等式约束，也称为系统约束．它对应于线性规划中的约束条件（如资源、客观条件约束等），不能满足绝对约束的解即为不可行解，因此也称为硬约束．
在一个规划问题中，有时会因为资源的短缺等原因，在约束条件中出现互相矛盾的方程．此时，可行解集合是空集．应用一般的线性规划方法，只能得出无解的结论．而在实际的决策问题里，决策者需要采取一定的措施，或增加资源，或减少产量，综合平衡各方面的因素，寻求可行的方案．而要找出哪种资源短缺，哪个产量指标过高，仍是解决问题的前提，采取一般的线性规划单纯形法解决这个问题显得十分困难．而在目标规划中，将比较容易解决这个问题．我们设想将约束条件“放松”，对约束方程也引入偏差变量，使矛盾的方程不再矛盾！
然后通过适当的方法，找出问题的关键，即需要增加的资源品种与数量或需降低的产品产量等，就会获得较好的决策效果．这说明两种约束在一定条件下可以转换．
例如：
在例4-2中，若再增加约束条件：
甲、乙两产品总的生产件数大于510，即：
，显然它与约束条件中的：
4x1+5x2?
201X矛盾！
这样解空间成
了空集．但若对新加入的约束条件引入正、负偏差变量d?
，可得约束方
程
d7?
510
由于d?
的作用，约束条件不再矛盾，可行解空间就非空了，我们便可应,d?
用后面介绍的方法求出相应的解，从而找出发生矛盾的关键因素及相应的数量，为进一步进行决策提供有力的依据．
当不易发现约束条件中是否有矛盾方程时，更一般的方法是对所有绝对约束都引入偏差变量，从而把约束条件全部变为等式．
（三）目标规划的目标函数
通过引入偏差变量，使原规划问题中的目标函数变成了目标约束，那么现在问题的目标是什么呢？
我们知道：
对于满足绝对约束和目标约束的所有解（即可行解），从决策者角度看，判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差越小越好．从而目标规划的目标函数就可由偏差变量构成．它有三种基本表现形式：
①要求恰好达到目标值的，即正、负偏差变量都要尽可能小．构造目标函数为：
MinZ?
．②要求不能超过目标值的，即允许达不到目标值，但
即使超过，一定要越小越好．构造目标函数为：
．③要求超过目标
值的，即允许超过目标值，但即使不足，一定要使缺少量越少越好．构造目标函数为：
．这样根据各个目标的不同要求，确定出总的目标函数
（di?
j）．
i,j
如例4-2中的目标函数可表示为Min．Z?
d3
其完整的目标规划模型为
1?
x1?
250
x?
201X33?
s.t.?
3600
201X12?
3x1?
10x2?
3000?
x,x?
0,d,d（i?
1,2,3）12ii?
0,?
（四）优先因子与权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目标的偏差可能相互替代或抵消，因为我们求的是所有偏差和最小，而实际问题中的目标之间也有主次、轻重、缓急之区别．决策者往往有一些最重要的，第一位要求达到的目标，我们赋予它优先因子（factorofpriority）P1，在它实现的前提下再去解决次要目标．依次把第二位达到的目标赋予优先因子P2?
，并规定Pk?
Pk+1，即不管Pk+1乘以一个多大的正数M，总成立Pk>
MPk+1,表示Pk比Pk+1具有绝对的优先权．因此，不同的优先因子代表着不同的优先等级．在实现多个目标时，首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑其它级别目标，而P2级目标是在保证P1级目标满足的前提下考虑的．决不能因为要使P2级目标更好地实现，而去降低P1级目标的实现值．一般地在目标规划模型中，绝对约束相应的目标函数，其优先等级一定是P1级．
若要进一步区别具有相同优先级的多个目标，则可分别赋予它们不同的权系数?
j（?
j可取一确定的非负实数），根据目标的重要
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