文科立体几何线面角二面角专题带答案Word文档下载推荐.docx
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4.如图，在三棱柱ABC_AiBiCi中，点p,g分别是&
叽的中点，已知吗丄平面
AAJB#]A.B,A#」
ABC,==3,==2.
（I）求异面直线与AB所成角的余弦值；
（II）求证：
丄平面吆匚』i;
（III）求直线吒丄与平面BCG%所成角的正弦值
5•如图，四棱锥P-AB8,底面ABCO是正方形，PA=PD"
E=1,PAPO型，E,卜分
别是阳，8的中点•
（1）求证；
（2）求二面角匚的余弦值.
6•如图，三棱柱ABC-AiBiCi中，侧棱吗丄底面ABC,且各棱长均相等D,E,F分别为
棱’•，,的中点•
（1）证明：
•平面’;
（2）证明：
平面珀8」平面气曾；
（3）求直线I町I与直线所成角的正弦值•
7.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，/ABD=30°
AB=2CD=2AD=2,DE丄平面ABCD,EF//BD，且BD=2EF.
（I）求证：
平面ADE丄平面BDEF;
（H）若二面角CBFD的大小为60。
，求CF与平面ABCD所成角的正弦值.
8.如图，在四棱锥
P-A0CD中PA丄平面A9CDPA=AB=BC=AD=CD=1
^DC^120[\点创是阴与盼的交点，点W在线段PB上,且卩讯宁压
|•汕用平面I；
（2）求直线皿忖与平面PAC所成角的正弦值.
（1）求证：
平面啦丄平面EBD；
（2）设皿为线段E匚上一点，占EgEC，求二面角M-BD-E的平面角的余弦值.
10.如图，在多面体丽CDEF中，四边形阳8为等腰梯形，眦“AD，已知M丄EC|,
AB=AF=BC=^^）E=4,四边形ADE卜为直角梯形，AF"
DE,#DAF=9$
（1）证明:
AC丄平面CDE平面ABCD丄平面ADEF|.
（2）求三棱锥「ABF的体积.
参考答案
1.
（1）见解析
（2）
【解析】分析：
（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC,再通过计算，根据勾股定理得PO
垂直0B，最后根据线面垂直判定定理得结论，
（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点
坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC
与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果
详解：
（1）因为一，为的中点，所以’且■.
$J
AR.——
连结°
B.因为-■?
，所以AABC为等腰直角三角形，
且丄％叫熬“
由OPSOB—Pef知P0丄0B.
由0P丄0&
0P丄AC知卩0丄平面ABC.
I
（2）如图，以。
为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系。
W.
由已知得0（0口0）冋200“.（0,-=（022⑻,取平面PAc|的法向量
0B=（2,0,0）
设M（a,2-apC）（C<
a<
2），屮悩・⑶4-%0）.
设平面曲的法向量为E刖力
III1（+2启1=°
厂厂
由|AP•n■0rAM'
n■0得i^x+（4-ajy=0可取h二（卩（齐粗-白）
点睛：
禾u用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：
第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；
第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；
第三，破“求法向量关求出平面的法向量；
第四，破“应用公式关”.
2•解:
（1）因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点，所以0P丄AC,且0P='
.
'
?
J1
=2.
FC-胚
连结0B•因为AB=BC=*，所以△ABC为等腰直角三角形，且0B丄AC,OB=
由|八7八■■■］知,OP丄OB•
（2）作CH丄OM，垂足为H.又由
（1）可得0P丄CH，所以CH丄平面POM•
故CH的长为点C到平面POM的距离.
所以点C到平面POM的距离为
点匸作CH1OM,垂足为M,只需论证tH的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可详解：
（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP丄AC,且OP=.
丄虫匚-AC
连结OB•因为AB=BC=》畀，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB丄AC,OB==2.
由⑴—任―;
：
厂知，OP丄OB.
由OP丄OB,OP丄AC知PO丄平面ABC.
（2）作CH丄OM，垂足为H.又由
（1）可得OP丄CH，所以CH丄平面POM.
所以点C到平面POM的距离为S.
为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；
本题第二问可以通过作出点到平面的
距离线段求解，也可利用等体积法解决•
3.（I）见解析；
（n）.
ARIAQAg丄R仁
方法一：
（I）通过计算，根据勾股定理得,再根据线面
垂直的判定定理得结论，（n）找出直线ACi与平面ABBi所成的角，再在直角三角形中求
解•
方法二：
（I）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出
I：
旳..…;
TH.丄论勺再根据线面垂直的判定定理得结论，（n）根据方程组解出平面「的
一个法向量，然后利用^匚】与平面ABB】法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.
方法
（I）由
AB=2,AAi=4飞片=丄A0,BB1丄=2^2
A.+AB.=AA.
所以I】L1
故叫1Ai0i
（n）如图，过点匚」作0D丄气Bi,交直线于点D,连结AD.
所以“門是叫与平面入叫所成的角•学科.网
ACABB—
因此，直线1与平面】所成的角的正弦值是B.
（I）如图，以AC的中点0为原点，分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴，建立空
A（Of-^O）fB（l#OrO）FA1（Or-厨由]（14习心0岳H因此爲疔仏也2）,前厂⑴扣2“心=02打耳由汕®
得吗丄対斗由冶佔"
得AB」伍
所以卜'
J平面卜"
ACAHBa
（n）设直线与平面所成的角为.
由（[）可知厂;
加占止皿f小洱-（/公
设平面啲法向量
ACABB逻
因此，直线丄与平面】所成的角的正弦值是B.
禾U用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：
第一，破“建系关”，构建恰当的
空间直角坐标系；
第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；
4•（I）
（n）见解析（川）
AB
（I）由题意得//AB，故/丄是异面直线
AiG
与AB所成的角，解三
角形可得所求余弦值.（n）在三棱柱
n®
冋二中，由丄平面ABC可得
丄AiG,于
BB
是丄AiG,又AiG丄’
根据线面垂直的判定定理可得结论成立.（川）取的中点H,
连接AH,HG;
取HG的中点O,连接OP,
.由PO//AiG可得肌:
平面
故得/PCiO是PC1与平面
所成的角，然后解三角形可得所求.
详解:
A8
⑴•///AB,
AR
•••/G是异面直线
与AB所成的角.
=2,G为BC的中点,
AiG丄BiCi,
RtAGA.B
中,
zAlGB£
90-
:
即异面直线AG与AB所成角的余炫值为.
（II）在三棱柱
ABC-A^C
丄平面ABC,
A^C
平面ABC,
丄AiG,
_LAiG,
又AiG丄
.气G丄
（III）解：
取
BC
的中点H，连接AH,HG;
取HG的中点O,连接OP,
0C
•/PO//AiG,
•••：
平面，
•••/PCiO是PCi与平面ecciB!
所成的角.
用几何法求求空间角的步骤:
①作：
利用定义作出所求的角，将其转化为平面角；
②证：
证明作出的角为所求角；
③求:
把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角；
④作出结论，将问题转化为几何问题.
5.
（1）见解析；
（2）.
【解析】试题分析：
（1）由题意，可取PC中点M，连接EMFM，则易知平面EMF//平面P冉D
由条件易证AE丄平面PAD,则丄平面又EFU平面EMF|,根据线面垂直的定义，从而
问题可得证；
（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取加）中点为坐标原点，过。
点作平行
于.的直线为•轴，为•轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面I出H和平面
的法向量，结合图形，二面角B~EF_C为锐角，从而问题可得解•
试题解析：
（1）取卩^中点M，连结EM,FM,...ABdD是正方形，.•.AE丄
又=PB辭丄丄面PAD,・.》B1PD,
又•••£
EM都是中点EM"
RC,MF〃PD,•网丄面EMF,
•II:
…
（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得g詢，电詞飞訶，弔舗，则
I）r.3^1
BF十詁0EF屮矿计CF=--A0）
T
fnt*BF=0
―严广0
设平面
1
BEF的法向量为叫“勺旳叫）
则
h'
FF=0,即
JvrT2i=0
令心，则W
同理得平面的法向量为.'
II们1」
cos<
n.Tnn>
-
I创
何中的量转化为向量，通过向量的运算；
三是将运算得到的结果翻译为几何结论
6.
（1）见解析
（2）见解析（3）
弦值为•
连接
DE=-AC
又F为棱®
5的中点,•.坷F"
EAJ//DE
（2）证明：
T是
（3）解：
•••卸叫严从孔
严严为直线EF与直线缺丄所成的角.
设三棱柱ABC'
AiBlCi的棱长为-则心孑，
卩』代+心==^=t
即直线E4与直线气以1所成角的正弦值为T.
（1）本题主要考查空间位置关系的证明和异面直线所成角的计算，意在考查学生对
这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.
（2）求空间的角，方法一是利用几何法，找作
•证扌旨求•方法二是利用向量法
7.
（1）见解析
（2）
（1）根据面面垂直
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