南邮-概率与数理统计-第01章---概率论的基本PPT文件格式下载.ppt

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写出下面随机试验的样本空间,第二节,在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.,第二节,试验的样本空间的子集称为的随机事件.,二、随机事件,当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称事件A发生.,第二节,例如：

在掷骰子试验中，观察掷出的点数。

事件B=掷出奇数点,事件A=掷出1点,事件B发生当且仅当B中的样本点1,3,5中的某一个出现.,样本空间为：

第二节,基本事件：

由一个样本点组成的单点集。

必然事件：

样本空间S。

它包含所有的样本点，在每次试验中必然发生。

例如：

在掷骰子试验中，,基本事件：

Ai=掷出i点,i=1,2,3,4,5,6必然事件：

S=1,2,3,4,5,6。

如“掷出点数小于7”不可能事件：

空集。

如“掷出点数为9”,不可能事件：

空集,不包含任何样本点，,在每次试验中都不会发生。

第二节,概念对比,集合论概率论,第二节,三、事件间的关系与事件的运算,第二节,第二节,第二节,第二节,第二节,第二节,第二节,第二节,两事件A、B互斥：

两事件A、B互逆或互为对立事件,即A与B不可能同时发生.,除要求A、B互斥（）外，还要求,第二节,第二节,事件的运算满足的规律,（4）德摩根律：

第二节,例：

试验为掷三次硬币，事件A1：

“第一次出现的是H”，事件A2：

“三次出现同一面”,请用样本点表示事件A1,A2,A1A2,A1A2,A2-A1,A1A2的逆。

第二节,解：

A1=HHH,HHT,HTH,HTT,A2=HHH,TTT,A1A2=HHH,HHT,HTH,HTT,TTT,A1A2=HHH,A2-A1=TTT,例：

按长度和直径两个指标检验某种圆柱形产品,第二节,如何求某事件的概率?

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是“事件的概率”.,第三节频率与概率,为什么要了解事件发生的可能性的大小？

了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.,第三节,一、频率的定义,频率描述了事件发生的频繁程度,第三节,第三节,第三节,当重复试验的次数增大时,频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。

这种“频率稳定性”即为统计规律性。

使用“稳定常数”定义概率是合理的，但有如下不足之处：

实际中，不可能对每一事件做大量试验求频率理论研究不方便参考频率的性质，公理化定义概率,频率概率,第三节,二、概率的公理化定义,第三节,设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P（A）,称为事件A的概率,如果集合函数P（）满足下列条件:

1,非负性:

对于每一个事件A,有P（A）0;

2,规范性:

对于必然事件S,有P（S）=1;

3,可列可加性:

设A1,A2,.是两两互不相容事件,即对于ij,AiAj=f,i,j=1,2,.,则有P（A1A2.）=P（A1）+P（A2）+.,性质1P（f）=0.,由概率的可列可加性得,概率的性质,证令An=f（n=1,2,.）,则,第三节,性质2（有限可加性）若A1,A2,.,An是两两互不相容的事件,则有P（A1A2.An）=P（A1）+P（A2）+.+P（An）,证令An+1=An+2=.=f,即有AiAj=f,ij,i,j=1,2,.由可列可加性得,第三节,性质3设A,B是两个事件,若AB,则有P（B-A）=P（B）-P（A）P（B）P（A）,证由AB知B=A（B-A）,且A（B-A）=f,再由概率的有限可加性得P（B）=P（A）+P（B-A）,又由概率的非负性,P（B-A）0知P（B）P（A）.,第三节,性质4对于任一事件A,P（A）1,证,性质5（逆事件的概率）对任一事件A,有,证因AS,由性质3得P（A）P（S）=1,第三节,性质6（加法公式）对任意两事件A,B有P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）.,证因AB=A（B-AB）,且A（B-AB）=f,ABB,故由有限可加性及性质3，得P（AB）=P（A）+P（B-AB）=P（A）+P（B）-P（AB）.,第三节,性质6的推广：

性质6的推论：

第三节,第三节,第三节,第四节等可能概型（古典概型）,一、古典概型的定义,若随机试验满足下述两个条件：

（1）它的样本空间只有有限多个样本点；

（2）每个样本点出现的可能性相同.称这种试验为等可能概型或古典概型.,第四节,二、古典概型中事件概率的计算,第四节,第四节,“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.,例：

判断如下试验是否是等可能概型。

第四节,第四节,第四节,第四节,第四节,第四节,例3将n只球随机地放入N（Nn）个盒子中去,试求每个盒子至多有一只球的概率.,解：

将n只球放入N个盒子,每种放法是一基本事件,共有NN.N=Nn种不同放法,而每个盒子中至多放一只球共有N（N-1）.N-（n-1）种不同放法,因而所求概率为,第四节,许多问题和例3有相同的数学模型.例如：

假设每人的生日在一年365天的任一天是等可能的,即都等于1/365,则随机选取n（365）个人,他们的生日各不相同的概率为,因而,n个人中至少有两人生日相同的概率为,第四节,第四节,例4（抓阄、摸彩模型）袋中有a只白球,b只红球,k个人依次在袋中取一只球,

（1）作放回抽样;

（2）作不放回抽样,求第i（i=1,2,.,k）个人取到白球（记为事件B）的概率（ka+b）.,

（2）不放回抽样：

每种取法是一基本事件。

由对称性知各种取法发生的可能性相同。

共有,种取法。

事件B发生时，第i个人可以取a只白球中的任意一只，剩下被取的k-1只球可以是剩余a+b-1只球中的任意k-1只，,第四节,解：

（1）放回抽样：

注意！

P（B）与i无关,即各人取到白球的概率相同,与取球先后次序无关。

（抽签、买彩票机会均等）放回抽样与不放回抽样的情况下P（B）相同。

第四节,第四节,第四节,在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,例：

从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？

下面的做法错在哪里？

错在同样的“4只配成两双”算了两次.,从5双中取1双,从剩下的8只中取2只,正确的答案是：

第四节,第四节,第四节,第五节条件概率,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息（条件）下求事件的概率.,一、条件概率,1.条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P（A|B）.,一般地P（A|B）P（A）,第五节,P（A）=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2,B=掷出偶数，,P（A|B）=？

已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B=2,4,6。

P（A|B）=1/3.,B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.于是,容易看到,P（A|B）,第五节,若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有

（1）.,设A、B是两个事件，且P（B）0,则称

（1）,2.条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,第五节,3.条件概率的性质（自行验证）,第五节,2）从加入条件后改变了的情况去算,4.条件概率的计算,1）用定义计算:

P（B）0,例：

掷骰子，A=掷出2点，B=掷出偶数点,P（A|B）=,B发生后的缩减样本空间所含样本点总数,在缩减样本空间中A所含样本点个数,第五节,例掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?

解法1,解法2,解设A=掷出点数之和不小于10B=第一颗掷出6点,应用定义,在B发生后的缩减样本空间中计算,第五节,由条件概率的定义：

即得乘法定理：

若P（B）0，则P（AB）=P（B）P（A|B）.或若P（A）0，则P（AB）=P（A）P（B|A）.,二、乘法定理,第五节,第五节,例:

设袋中装有r只红球,t只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入a只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一,二次取到红球且第三,四次取到白球的概率.,第五节,解:

以Ai（i=1,2,3,4）表示事件“第i次取到红球”,则所求概率为,第五节,三、全概率公式和贝叶斯公式,定义设S为试验E的样本空间,B1,B2,.,Bn为E的一组事件,若

（1）BiBj=f,ij,i,j=1,2,.,n;

（2）B1B2.Bn=S,则称B1,B2,.,Bn为样本空间的一个划分.若B1,B2,.,Bn是样本空间的一个划分,那么,对于每次试验,事件B1,B2,.,Bn中必有一个且仅有一个发生.,第五节,划分的图示,B1,B2,B3,S,B4,B5,第五节,全概率公式：

第五节,某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A是由原因Bi（i=1,2,n）所引起，则A发生的概率是,每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.,P（ABi）=P（Bi）P（A|Bi）,我们可以这样理解全概率公式：

第五节,定理设试验E的样本空间为S.A为E的事件,B1,B2,.,Bn为S的一个划分,且P（A）0,P（Bi）0（i=1,2,.,n）,则下面的贝叶斯公式成立:

证由条件概率的定义及全概率公式得,第五节,n=2时，两个公式的简化全概率公式,贝叶斯公式,第五节,例:

设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正。

一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4。

（1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？

（2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率。

解：

设A表示枪已校正，B表示射击中靶，则,第五节,例:

某电子设备厂所用元件由三家元件厂供给,根据以往纪录有以下数据:

设这三厂产品在仓库中混合摆放无区别标志.

（1）在仓库中任取一只元件,求它是次品的概率;

（2）如已取到一只次品,求它由各厂生产的概率分别是多少.,第五节,解:

设A表示“取到次品”,Bi表示“产品来自第i家工厂提供”,则B1,B2,B3构成样本空间的一个划分,P（B1）=0.15,P（B2）=0.8,P（B3）=0.05,P（A|B1）=0.02,P（A|B2）=0.01,P（A|B3）=0.03.,

（1）由全概率公式P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）=0.0125.

（2）由贝叶斯公式,第五节,第五节,第六节独立性,一般,A的发生对B发生的概率是有影响的,这时P（B|A）P（B）。

如果A的发生对B发生的概率没有影响，则有P