小学奥数752 组合的基本应用二学生版Word文件下载.docx

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第一步：

从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；

　　第二步：

将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．

根据乘法原理，得到．

因此，组合数．

这个公式就是组合数公式．

二、组合数的重要性质

一般地，组合数有下面的重要性质：

（）

这个公式的直观意义是：

表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出（）个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的（）个元素的分组方法．

例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．

规定，．

例题精讲

模块一、组合之几何问题

【例1】在一个圆周上有个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：

⑴直线段；

⑵三角形；

⑶四边形．

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答

【解析】由于个点全在圆周上，所以这个点没有三点共线，故只要在个点中取个点，就可以画出一条线段；

在个点中取个点，就可以画出一个三角形；

在个点中取个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题．

由组合数公式：

⑴可画出（条）直线段．

⑵可画出（个）三角形．

⑶可画出（个）四边形．

【答案】⑴⑵⑶

【巩固】平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答

1【解析】这道题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题，实际上是求从个元素中取出个元素的组合数，由组合数公式，，所以以个点中每个点为端点的线段共有条．

【答案】

【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？

2【解析】三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从个点中选出个点的选法，等于（种）．

【例2】平面内有个点，其中点共线，此外再无三点共线．

⑴可确定多少个三角形？

⑵可确定多少条射线？

【解析】⑴分三类：

①有个顶点在共线的点中，另个顶点在不共线的点中的三角形有

个；

②有个顶点在共线的点中，另个顶点在不共线的点中的三角形有

（个）；

③个顶点都在不共线的点中的三角形有个．

根据加法原理，可确定个三角形．

⑵两点可以确定两条射线，分三类：

①共线的点，确定条射线；

②不共线的点，每两点确定两条射线，共有（条）射线；

③从共线的点与不共线的点中各取一个点可以确定（条）射线．

根据加法原理，可以确定（条）射线．

【答案】⑴⑵

【巩固】如图，问：

⑴图中，共有多少条线段？

⑵图中，共有多少个角？

　　　　　　　　　　　　　图　　　　　　　　　　　　　　图

【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答

【解析】⑴在线段上共有个点（包括端点、）．注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有

一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而表示从个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有条线段．

由组合数公式知，共有（条）不同的线段；

　　　　⑵从点出发的射线一共有条，它们是，，，，，，．注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角．显然，是组合问题，共有种不同的取法，所以，可组成个角．

　由组合数公式知，共有（个）不同的角．

模块二、组合之应用题

【例3】6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

【解析】这与课前挑战的情景是类似的．因为两个人握手是相互的，个朋友每两人握手一次，握手次数只与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题．

由组合数公式知，（次）．所以一共握手次．

【巩固】某班毕业生中有名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？

【解析】（次）．

【例4】学校开设门任意选修课，要求每个学生从中选学门，共有多少种不同的选法？

1【解析】被选中的门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题．

由组合数公式知，（种）．

所以共有种不同的选法．

【例5】有2克，5克，20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出种不同的质量。

【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，一试，第5题

【解析】第一大类：

砝码只放一边。

共有或者（种）；

第二大类：

两边都放砝码。

再分类：

两边各放一个，共有种；

一边放两个一边放一个有或者种。

所以这一大类共有（种）。

根据加法原理，共能称出7+6=13（种）不同的质量。

【答案】种

【例6】工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：

（1）一共有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？

【解析】

（1）从10件产品中抽出3件，抽法总数为=120（种）

（2）3件中恰好一件次品，那么还有两件正常品．

抽法总数为×

=56（种）

（3）与“至少有一件是次品”互补的事件是“全都不是次品”

全都不是次品的抽法总数为=56（种）

所以至少有一件次品的抽法总数为120-56=64（种）．

（1）120

（2）56（3）64

【例7】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？

⑴都不是次品；

⑵至少有1件次品；

⑶不都是次品．

【解析】第⑴题：

与顺序无关；

都不是次品，即全部都是正品，正品有195件．第⑵题：

至少有1件次品，即有1件次品、2件次品、3件次品、4件次品等四类情况，次品共5件．可用直接法解答，也可用间接法解答．第⑶题：

不都是次品，即至少有1件是正品．

⑴都不是次品，即全部为正品．

共有抽法种．

⑵至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况．

共有抽法种（或种）．

⑶不都是次品，即至少有1件正品．

【例8】某班要在名同学中选出名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？

如果在人中选人站成一排，有多少种站法？

【解析】要在人中选人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的顺序无关．所以，应用组合数公式，共有种不同的选法．

　　　　要在人中选出人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关．所以，应用排列数公式，共有种不同的站法．

由组合数公式，共有（种）不同的选法；

由排列数公式，共有（种）不同的站法．

【例9】将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法．

【关键词】希望杯，1试

【解析】因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者黄花的两边．这样共有个空，每个空最多只能放一盘红花，相当于从个元素中取出个，所以共有种不同的放法．

【例10】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？

【解析】因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个人是谁，也就确定了他们的前后关系．所以排队方法总数为：

（种）．

【例11】在一次考试的选做题部分，要求在第一题的个小题中选做个小题，在第二题的个小题中选做个小题，在第三题的个小题中选做个小题，有多少种不同的选法？

【解析】由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关，所以在三道题中选题都是组合问题．

第一题中，个小题中选做个，有（种）选法；

第二题中，个小题中选做个，有（种）选法；

第三题中，个小题中选做个，有（种）选法．

根据乘法原理，一共有（种）不同的选法．

【例12】某年级个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？

【解析】分三步进行：

第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有（种）选法；

第二步，从余下的个班中选取两个班给乙，有（种）选法；

第三步，剩余的两个班给丙，有种选法．

根据乘法原理，一共有（种）不同的分配方法．

【例13】将19枚棋子放入的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有________种不同的放法．

【关键词】迎春杯，高年级，初赛

【解析】的方格网共有25个方格，放入19枚棋子，说明还有6个空格．由于棋子的数目较多，直接考虑棋子比较困难，可以反过来考虑6个空格．由于每行每列的棋子个数均为奇数个，而每行每列都有5个方格，说明每行每列的空格数都是偶数个．那么每行每列的空格数可能为0，2或4．如果有某一行或某一列的空格数为4个，为保证每行每列的空格数都是偶数个，那么这4个空格所在的列或行都至少还有另外1枚棋子，这样至少有8个空格，与题意不符，所以每行每列的空格数不能为4个，只能为0个或2个．则肯定是某3行和某3列中每行每列各有2个空格，如下：

□□○

□○□

○□□

其中□表示空格，○表示有棋子的方格，其它的方格则全部有棋子．

选择有空格的3行3列有种选法，在这3行3列中选择6个空格（也相当于每行每列选择1