人工智能原理教案03章 不确定性推理方法323证据理论Word下载.docx

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m（A）的意义为

●若A⊂U且A≠U，则m（A）表示对A的确定信任程度。

●若A=U，则m（A）表示这个数不知如何分配（即不知道的情况）。

例如，

设U={红，黄，白}，2U上的基本概率分配函数m为

m（{}，{红}，{黄}，{白}，{红,黄}，{红,白}，{黄,白}，{红,黄,白}）

=（0，0.3，0，0.1，0.2，0.2，0，0.2）

其中，

m（{红}）=0.3表示对命题{红}的确定信任度。

m（{红,黄,白}）=0.2表示不知道这0.2如何分配。

值得注意的是，

m（{红}）+m（{黄}）+m（{白}）

=0.3+0+0.1=0.4<

1

因此，m不是概率，因为概率函数P要求

P（红）+P（黄）+P（白）=1

即有

P（A）=1-P（~A）

而这里m（A）1-m（~A）

其中：

~A=U-A，是A的补集。

小结：

bpa不同于Bayes方法，因为Bayes方法仅对U中单个元素赋予一种信任――概率。

而对于bpa来说：

●给U的每个子集指派[0，1]中的一个数；

●空集的指派为0；

●所有子集的指派值之和等于1。

●m（U）只是总可信度的一部分。

在对U中的适当子集分派可信度之后，剩余的可信度就不再分派给其它任何子集，而只分派给U本身。

即：

如果有一证据仅支持U的一个子集A，m（A）=S，而不支持其它任何子集B，则指派m（U）=1-S，m（B）=0，B≠A，BU。

定义2：

信任函数（Belieffunction）：

命题A的信任函数Bel：

2U→[0,1]为

∀A⊆U

表示对A的总信任。

即，命题A的信任函数的值，是A的所有子集的基本概率之和。

例如，在前面的例子中

Bel（{红}，{白}）

=m（{红}）+m（{白}）+m（{红,白}）

=0.3+0.1+0.2

=0.6

根据定义可以看出

Bel（）=0

Bel（U）=1

单元素集上m与Bel是相等的，例如:

Bel（{红}）

=m（{红}）

=0.3。

定义3：

似然函数（Plausibilityfunction）：

命题A的似然函数Pl:

2U→[0,1]为

∀A⊆U

表示对于不否定A的信任度，是所有与A相交的子集的基本概率之和。

～A=U-A，是A的补集。

信任函数与似然函数有以下的关系：

0≤Bel（A）≤Pl（A）≤1

Pl（A）-Bel（A）表示了既不信任A也不信任~A的一种度量，可表示对命题A是真是假不知道的度量。

用记号

A[Bel（A），Pl（A）]

来综合描述A的不确定性。

其中，Bel（A）和Pl（A）分别表示命题A的下限函数和上限函数。

实际上m，Bel，Pl只要知其一，必可求得另两个，但三个函数有不同含义。

例如，在前面的例子中：

m（{红}）=0.3

Bel（{红}）=m（{红}）+m（{}）

=0.3+0=0.3

Pl（{红}）=1-Bel（{~红}）

=1-Bel（{黄,白}）

=1-[m（{黄}）+m（{白}）+m（{黄,白}）]

=1-（0+0.1+0）

=0.9

所以，{红}[Bel（{红}），Pl（{红}）]={红}[0.3，0.9]。

以下列举几个典型值的含义：

A[1，1]

表示A为真。

因为Bel（A）=1，Bel（~A）=1-Pl（A）=0。

A[0，0]

表示A为假。

因为Bel（A）=0,Bel（~A）=1-Pl（A）=1。

A[0，1]

表示对A一无所知。

因为：

Bel（A）=0，说明对A缺少信任；

Bel（~A）=1-Pl（A）=0，说明对~A也缺少信任。

A[0.6，1]

表示对A部分信任。

因为Bel（A）=0.6，Bel（~A）=0。

A[0，0.4]

表示对~A部分信任。

因为Bel（A）=0，Bel（~A）=0.6。

A[0.3，0.9]

表示同时对A和~A部分信任。

（2）证据描述

设某个领域的辨别框U={S1,S2,…,Sn}，m为2U上定义的基本概率分配函数，在下面描述的算法中，应满足如下条件：

a）m（{Si}）≥0,对Si∈U

b）

c）m（U）=1-

d）m（A）=0,对A⊂U，且|A|≠1（集合A的元素个数不为1，且又不包括全体元素）

例如，U={红，黄，白}时下面的基本概率分配函数：

m（{红}，{黄}，{白}，{红,黄,白}，{}）

=（0.6，0.2，0.1，0.1，0）

其中，m（{红,黄}）=m（{红,白}）=m（{黄,白}）=0。

定义4（证据的信任函数）：

对任何命题A⊆U，其信任函数为

Bel（A）=∀A⊂U

Bel（U）=

定义5（证据的似然函数）：

对任何命题A⊆U，其似然函数为

Pl（A）=1-Bel（～A）=1-A⊂U

=1-

=1-[1-m（U）-Bel（A）]

=m（U）+Bel（A）

根据以上定义，可以看出命题的信任函数和似然函数之间满足下列关系：

●Pl（A）≥Bel（A）

●Pl（A）-Bel（A）=m（U）

除了以A[Bel（A），Pl（A）]来作为证据A的不确定性度量外，还可用类概率函数来度量。

定义6（类概率函数）：

设U为有限域，对任何命题A⊆U，命题A的类概率函数为

其中|A|、|U|分别表示A和U所含元素个数。

类概率函数具有如下性质：

1）

2）Bel（A）≤≤Pl（A），∀A⊆U

3）=1-，∀A⊆U

根据以上性质，可以得出以下推论：

1）

2）

3）

可以看出，类概率函数与概率函数具有非常相似的性质。

（3）证据的组合

对于同样的证据，由于来源不同，会得到不同的概率分配函数。

Dempster提出用正交和来组合这些函数。

定义7（正交和）：

设m1,m2,…,mn为2U上的n个基本概率分配函数，它们的正交和m（A）=（m1m2…mn）（A）为

其中

k-1=1-

若k-1＝0,则mi之间是矛盾的，没有联合基本概率分配函数。

若k-1≠0,这样的mi就确定一个基本概率分配函数。

常数k是根据m1m2…mn需对2U的所有元素的基本概率分配之和为1来确定的。

（这种规定称作Dempster组合规则，要求m1m2…mn提供的证据满足某种独立性条件）

2.规则的不确定性度量

设某个领域的辨别框U={S1,…,Sn}，命题A、B、…为U的子集，推理规则为

E→H，CF

其中，E、H为命题的逻辑组合，CF为可信度因子。

命题和可信度因子可表示为

A={a1,…,ak}

CF=（c1,…,ck）

其中ci用来描述ai的可信度，i=1,2,…,k。

对任何命题A，A的可信度CF应满足：

1）ci≥0，1≤i≤k

2）

3.推理计算

（1）当条件部分为命题的逻辑组合时，整个条件部分的确定性计算：

=min{}合取

=max{}析取

（2）结论部分的命题的确定性计算：

即，已知，A→B（c1,…,ck），如何计算。

思路：

根据前面介绍的方法，首先计算基本分配函数m（B）,然后计算结论部分命题B的信任函数Bel（B）、似然函数Pl（B），最后计算类概率函数和确定性。

设B={b1,b2,…,bk}，且U={b1,b2,…,bk}，则U上的基本概率分配函数为

m（{b1},…,{bk}）=（c1,…,ck）

ci

便可得。

（3）独立证据导出同一假设

如果有n条规则支持同一命题时，根据Dempster组合规则，总的基本概率分配函数m为各规则结论得到的基本概率分配函数的正交和：

m=m1m2…mn

例如，已知A1→B（c1,…,ck）

A2→B（）

以及

如何计算。

首先计算总的基本概率分配函数m=m1m2，然后计算命题B的信任函数、似然函数，进而可求出类概率函数。

例U={a,b,c,d}（参见p101）

:

{b,c,d}→0.7U→0.3

{a,b}→0.6U→0.4

可列表求m=m1m2

m1

m2

于是

{b}→0.42，{a,b}→0.18,{b,c,d}→0.28

U→0.12（=0.7（0.6+0.4）+0.3（0.6+0.4）=1）

有了便可计算，如

（）（{a,b}）

=

=m（）+m（{a}）+m（{b}）+m（{a,b}）

=0+0+0.42+0.18=0.60

随之可计算，从而可得

4.举例（p102）

（1）已知=0.8.=0.6）|U|=20→B={,}（）=（0.3,0.5）来计算。

先计算=min{}=min{0.8,0.6}=0.6

进而计算=（0.6×

0.3,0.6×

0.5）=（0.18,0.3）

于是有Bel（B）=m（）十m（{}）+m（{}）+

=0+0.18+0.3+0=0.48

（依Ci定义,m（{}）=0.18，m（{}）=0.3，随之有

m（U）=1－（0.18+0.3）=0.52，而对U的其他子集的m值均赋以零）

Pl（B）=1-Be1（~B）=1-0=1

最后得

=0.48+（1-0.48）=0.53。

（2）已知=0.53,=0.52,|U|=20。

→B={}，（）=（0.1,0.5,0.3）

→B={}，（）=（0.4,0.2,0.1）

求。

先求

=（0.53×

0.1,0.53×

0.5,0.53×

0.3）=（0.053,0.265,OJ59）

（U）=1一（0.053+0.265+0.159）=0.524

=（0.52×

0.4,0.52×

0.2,0.52×

0.1）

=（0.208,0.104,0.052）

（U）=1-（0.208+0.104+0.052）=0.636

以及m=

=（{}）（）+（{}）（U）+

（）（）+（）（U）

+（（）+（）（U）+（U）（{}）+（