高三最新 高三数学试题及高考分析五数列极Word下载.docx
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2a10=a9+a11=a8+a12=……=an+a20-n.而a20-n的前一项为a19-n,故上式成立,若{bn}等比数列,b9=1,对于n<
17,则有:
,
b1,b2,b3……,bn中,b18-n的前一项为b17-n,
b1·
b2·
b3……bn=b1·
b3……b17-n(n<
17,nN).
(2)若ak,an,ap成等比,设公比为q,则,
由{an}等差,设公差为d(d≠0)则ak=an+(k-n)d,
ap=an+(p-n)d,,
∴
∴,
∴,选B。
(3){an}为等差数列,故,而a1+a2n-1=2an,
故一般地,对等差数列有
∴。
评述:
(1)题若{bn}为正项数列,可令an=lgbn,由已知推出。
(2),(3)题亦可用基本量法来作,但显然运算量会大上许多,此三题均选自高考原题和模拟题,要注意此类问题方法,技巧的归纳运用。
例2.数列{an}的前n项和是Sn,数列{bn}满足b1=a1,bn+1=an+1-an,an+Sn=n.
(1)求证:
数列{bn}是等比数列,并写出其通项公式;
(2)求an.
对一般数列的问题,通常的问题有:
递推关系辨析、使用问题;
前n项和Sn使用和计算问题。
通常的解题方法有:
①赋n=1,2,3,4归纳猜想证明(运用数学归纳法);
(此法,简单,可操作性强,历来被视为看家的方法);
②利用所给式子的结构,将n值赋成n-1,n+1或连续赋n,n-1,n-2,……3,2,1,运用方程或叠加叠乘技巧来作,(此法富于技巧但书写运算量较少,常见类型有:
等差(或等比)定义型;
叠加叠乘型:
(n+1)an+1-n·
an=k,nan+1-(n+1)an=0;
变换可化归等差,等比型:
an=k·
an-1+p,an-an-1=kan·
an-1;
)。
对于Sn与an关系型的问题,通常要用易错点是只看Sn-Sn-1而忽略n=1。
解:
(1)由an+Sn=n,可得:
an+1+Sn+1=n+1,
两式相减则有:
an+1-an+(Sn+1-Sn)=1,即2an+1-an=1
上式可变形为:
2(an+1-1)=an-1.
又由a1+S1=1,可得,
这说明数列{an-1}为首项为,公比为的等比数列。
又由2an+1-an=1可变形为an+1-an=1-an+1,
由bn+1=an+1-an,∴bn+1=1-an+1,
∴bn=1-an,∴{bn}为等比数列,首项为,公比为,∴.
(2)由,可得,an=1.
评述:
此题亦可用归纳猜想证明来做,
(1)问亦可先求{1-an}的通项,进而求出{an}的通项,再根据bn=an-an-1来作;
(2)问亦可由bn=an-an-1迭加得an通项来做。
……此题设计精巧,方法灵活,应多琢磨领会方法的运用。
例3.在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,成等比数列。
(1)求通项an;
(2)求数列{an}的所有项和
(1)∵an,Sn,成等比数列,
∴(n≥2),又∵an=Sn-Sn-1,
∴(n≥2),
∴是公差为2,首项为1的等差数列,
∴,
∴,当n≥2时,,
又a1=1不满足,∴。
(2)由
(1)得:
,∴。
此题也可用归纳、猜想、证明等方法。
此题需关注两处技巧:
①若由化归为有关an的关系式较难,可由an→Sn-Sn-1去。
②式子的特征分析运用;
此题易混之处在求Sn时不马上利用
(1)问导出Sn的结果,而是又去裂项求和。
例4.已知,且f-1(x)为f(x)的反函数,又数列{an}的前n项和Sn满足Sn=f-1(Sn-1),a1=2.
(1)求数列{an}的前n项和Sn及通项an;
(2)若,试比较b1与c1;
b2与c2;
b3与c3的大小,猜测bn与cn(n∈N)的大小关系并加以证明;
(3)求极限的值。
解析:
对于数列综合题,一般有从数列引申到其它知识,类型由其它知识引入到数列中来两类,以后者居多,方法是化归(即将综合问题化归到各自的知识领域)。
由,可求得,
由Sn=f-1(Sn-1),,
∴,
∴为等差数列,,∴Sn=2·
n2,
∴n≥2时,an=2(2n-1),当n=1时,2(2n-1)=2,
∴an=2(2n-1)(n∈N).
(2);
b2<
c2;
∴b3<
c3.
猜测:
bn≤cn.
证:
(数学归纳法)①验证n=1,n=2时bn≤cn成立。
②假设n=k时,bk≤ck成立。
即成立,等价于:
。
则当n=k+1时,
即n=k+1时,bk+1≤ck+1成立。
由①,②可得bn≤cn对任意n∈N成立。
(3)=.
此题与函数综合,但回到数列领域中来仍是,等差数列类的问题,仍用an=Sn-Sn-1(n≥2)关系式解决问题。
练习巩固:
1.设数列是公差不为0的等差数列,且|a11|=|a51|,a22=22.
(1)求数列{an}的通项公式
(2)将{an}的前n项和表示为an的函数。
2.已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n+1(n=0,1,2,……)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,……)定义。
(1)求x1,x2和xn的表达式。
(2)求f(x)的表达式,并写出其定义域。
(3)证明:
y=f(x)的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。
答案提示:
1.答:
(1)an=62-2n.
(2)
提示:
(1)a11=a20-9d,a51=a20+31d
(2),代入
2.
(1).
数形结合,由斜率公式
,
可推出,用叠加法。
(2)
当b>
1时,,
当0<
b<
1时,n→∞,xn→∞,
∴当b>
1时,x∈[0,+∞).
(3)分两种情况证明
①b>
1,任意存在xn使xn<
x≤xn+1,
此时,f(x)-f(xn)=bn(x-xn)>
x-xn,
∴f(x)-x>
f(xn)-xn,又f(xn)=n.
而,
∴f(xn)-xn>
0,∴f(x)>
x成立。
②当O<
1时,仿上述证明(此时f(x)<
x)。
北京四中
科目:
数学年级:
高三 撰稿:
安东明
编审:
安东明责编:
辛文升录入:
刘红梅
最值问题
最值问题也可以表述成值域问题,取值范围等问题,它包括最大值及最小值。
这部分知识是高考中必考题,它与其他知识的联系也是十分紧密的,因此我们有必要把求最值的知识方法总结一下。
1.利用二次函数求最值
二次函数是我们研究的重点也是难点,特别是在给定区间上的最值问题。
这部分常见的是换元后转化为二次函数的形式。
特别注意换的“元”的取值范围。
研究二次函数问题最好是结合它的图像(可以在草稿纸上画草图),这样不易出错,并且加快解题速度。
例1:
f(x)=1-2·
ax-a2x(a>
0且a≠1)
(1)求函数f(x)的值域
(2)若x∈[-2,1]时,f(x)的最小值为-7,求a的值及此时f(x)的最大值。
令t=ax,则t>
0,f(x)=1-2t-t2=-(t2+2t+1)+2=-(t+1)2+2
∵对称轴t=-1<
0,∴f(x)<
-(0+1)2+2=1
∴f(x)的值域为(-,1).
(2)由
(1),f(x)=1-2t-t2=-(t+1)2+2,并且在(1,+)上是减函数
∵x∈[-2,+1],
∴①当a>
1时,t∈[a-2,a]
当t=a时,f(x)min=-(a+1)2+2=-7,a=2
此时f(x)max=-(a-2+1)2+2=.
②当0<
a<
1时,t∈[a,a-2],
当t=a-2时,f(x)min=-(a-2+1)2+2=-7,a=,
此时f(x)max=-(a+1)2+2=,
∴满足题要求时a=2时,f(x)max=.
a=时,f(x)max=.
例2:
已知:
≤a≤1,f(x)=ax2-2x+1在[1,3]上最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a).
求g(a)的最小值。
f(x)=a(x2-x+-)+1=a(x-)2+1-
∵≤a≤1, ∴1≤≤3.
所以f(x)的图像开口向上,对称轴在1,3之间。
∵x∈[1,3]
∴当x=时,f(x)min=N(a)=1-,
当1≤≤2即≤a≤1时,f(x)max=f(3)=M(a)=9a-5.
当2<
≤3,即≤a<
时,f(x)max=f
(1)=M(a)=a-1.
∵g(a)=M(a)-N(a)
∴g(a)=,
当≤a<
时,g(a)=a+-2≥2-2=0.
当且仅当a=1时“=”成立,∵a=1[,),
∴g(a)>
0,可证g(a)在[,)是单减函数,
∴g(a)在[,)上无最小值,
当≤a≤1时,g(a)=9a+-6≥6-6
当且仅当a=时“=”成立,∵a=[,1]
0,可证g(a)在[,1]上为单增函数,
∴g(a)min=g()=,
∴当a=时,g(a)min=.
注:
最好掌握一般的情况f(x)=ax+(a,b>
0)的图像,因为是奇函数,只画右边部分。
(下面的3中涉及到了)
因为ax+,在ax=时取等号,即x=。
草图如下:
(可以观察最值和单调性)
2.利用平均值不等式求最值
从半径为2的圆板上剪下一个以原圆心为圆心的扇形,围成一个圆锥的侧面,如何操作使圆锥体积最大?
如图,圆锥的母线长为2,设圆锥轴截面的底角为α(0<
α<
)
则圆锥底面半径r=2cosα,高h=2sinα,
V=πr2h=π·
4cos2α·
2sinα
=π(1-sin2α)sinα
=π
≤ππ.
当且仅当2sin2α=1-sin2α,即sinα=时“=”成立,
此时,圆锥底面半径r=,圆锥侧面展开图扇形的中心角θ==