版高考数学一轮复习第4章平面向量43平面向量的数量积及其应用学案文Word文档格式.docx
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c＝a·
c＋b·
c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·
b＝x1x2＋y1y2，由此得到
（1）若a＝（x，y），则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离|AB|＝||＝.
（3）设两个非零向量a，b，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
（4）设两个非零向量a，b，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b的夹角，则cosθ＝.
特别提醒：
（1）a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．
（2）对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°
时，a·
b>
0，所以a·
0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；
a·
b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·
b＝0时，有可能a⊥b.
（3）在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·
|b|，若a·
c（b≠0），则a＝c.但对于向量a，b却有|a·
b|≤|a|·
|b|；
若a·
c（b≠0），则a＝c不一定成立．例如a·
b＝|a||b|cosθ，当cosθ＝0时，a与c不一定相等．
又如下图，向量a和c在b的方向上的投影相等，故a·
c，但a≠c.
（4）两个向量的数量积是一个实数．
∴0·
a＝0（实数）而0·
a＝0.
（5）数量积不满足结合律（a·
b）·
c≠a·
（b·
c）．
（6）a·
b中的“·
”不能省略．
[诊断自测]
1．概念辨析
（1）一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．（ ）
（2）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．（ ）
（3）若a·
0，则a和b的夹角为锐角；
b<
0，则a和b的夹角为钝角．（ ）
（4）在△ABC中，A·
B＝|A|·
|B|cosB.（ ）
答案
（1）√
（2）√ （3）×
（4）×
2．教材衍化
（1）（必修A4P108T3）已知a·
b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°
，则|b|为（ ）
A．12B．6C．3D．3
答案 B
解析 a·
b＝－12＝|a||b|cos135°
，
解得|b|＝6.故选B.
（2）（必修A4P104例1）已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°
，则向量b在向量a方向上的投影为________．
答案 －2
解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为
|b|cosθ＝4×
cos120°
＝－2.
3．小题热身
（1）（2017·
包头质检）已知向量＝，＝，则∠ABC＝（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
答案 A
解析 cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°
.故选A.
（2）已知向量a，b的夹角为60°
，|a|＝2,|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 2
解析 由题意知a·
b＝|a||b|cos60°
＝2×
1×
＝1，则|a＋2b|2＝（a＋2b）2＝|a|2＋4|b|2＋4a·
b＝4＋4＋4＝12.
所以|a＋2b|＝2.
题型1 平面向量数量积的运算
角度1 求数量积
已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·
的值为（ ）
A．－B.C.D.
本题可采用向量基底法、坐标法．
解析 解法一：
如图，
·
＝（＋）·
＝·
＝－·
＋2
＝－×
cos60°
＋×
12＝.故选B.
解法二：
建立平面直角坐标系，如图．
则B，C，
A，
所以＝（1,0）．
易知DE＝AC，则EF＝AC＝，
因为∠FEC＝60°
，所以点F的坐标为，
所以＝，
所以·
（1,0）＝.故选B.
方法技巧
求两个向量的数量积的两种方法
1．利用定义．
2．利用向量的坐标运算．如典例．
冲关针对训练
1．若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°
，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·
＝1，·
＝－，则λ＋μ＝（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 以，为基向量，则·
＝（＋λ）·
（＋μ）＝μ2＋λ2＋（1＋λμ）·
＝4（μ＋λ）－2（1＋λμ）＝1①.·
＝（λ－1）·
（μ－1）＝－2（λ－1）（μ－1）＝－②，由①②可得λ＋μ＝.故选C.
2．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·
＝________.
（－）＝2－2＝22－×
22＝2.
以A为原点建立平面直角坐标系（如图），可得A（0,0），E（1,2），B（2,0），C（2,2），D（0,2），＝（1,2），＝（－2,2），则·
＝（1,2）·
（－2,2）＝1×
（－2）＋2×
2＝2.
角度2 平面向量的夹角与垂直问题
若非零向量a，b满足|a|＝·
|b|，且（a－b）⊥（3a＋2b），则a与b的夹角为（ ）
A.B.C.D．π
本题采用定义法．
解析 ∵（a－b）⊥（3a＋2b），∴（a－b）·
（3a＋2b）＝0⇒3|a|2－a·
b－2|b|2＝0⇒3|a|2－|a||b|cos〈a，b〉－2|b|2＝0.
又∵|a|＝|b|，
∴|b|2－|b|2·
cos〈a，b〉－2|b|2＝0.
∴cos〈a，b〉＝.∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝.选A.
平面向量a＝（1,2），b＝（4,2），c＝ma＋b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝（ ）
A.－2B.－1C.1D.2
本题采用坐标法、方程思想．
答案 D
解析 a＝（1,2），b＝（4,2），则c＝ma＋b＝（m＋4,2m＋2），|a|＝，|b|＝2，∴a·
c＝5m＋8，b·
c＝8m＋20.
∵c与a的夹角等于c与b的夹角，
∴＝，∴＝，解得m＝2.故选D.
（2018·
邢台模拟）已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则·
的取值范围为（ ）
A．[2,18）B.
C.D．（2,9－3）
本题采用转化思想、向量法、余弦定理．
解析 由题意可得a＋b＋c＝6，且b2＝ac，
∴b＝≤＝，从而0<
b≤2.
再由|a－c|<
b，得（a－c）2<
b2，（a＋c）2－4ac<
b2，
∴（6－b）2－4b2<
b2，得b2＋3b－9>
0.
又b>
0，解得b>
∴<
b≤2，
∵cosB＝＝，
∴·
＝accosB＝＝＝＝－（b＋3）2＋27，
则2≤·
<
.故选C.
求平面向量的夹角的方法
1．定义法：
利用向量数量积的定义知，cosθ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：
b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系．如典例2.
2．坐标法：
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则cosθ＝.
3．解三角形法：
可以把所求两向量的夹角放到三角形中，利用正、余弦定理和三角形的面积公式等进行求解．如典例3.
1．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为（ ）
解析 作▱ABCD，使＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b，由|a＋b|＝|a－b|，知▱ABCD为矩形．又|a＋b|＝2|a|，所以∠CAB＝.故选B.
2．已知向量与的夹角为120°
，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为______．
答案
解析 ∵⊥，∴·
＝0，
∴（λ＋）·
＝0，即（λ＋）·
（－）＝λ·
－λ2＋2－·
＝0.
∵向量与的夹角为120°
，||＝3，||＝2，
∴（λ－1）||||·
－9λ＋4＝0，解得λ＝.
角度3 求向量的模（或最值、范围）
已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为（2,0），则|＋＋|的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
本题采用三角函数法、不等式法．
由圆周角定理及AB⊥BC，知AC为圆的直径．
故＋＝2＝（－4,0）（O为坐标原点）．
设B（cosα，sinα），∴＝（cosα－2，sinα），∴＋＋＝（cosα－6，sinα），|＋＋|＝＝≤＝7，当且仅当cosα＝－1时取等号，此时B（－1,0），故|＋＋|的最大值为7.故选B.
同解法一得＋＝2（O为坐标原点），又＝＋，∴|＋＋|＝|3＋|≤3||＋||＝3×
2＋1＝7，当且仅当与同向时取等号，此时B点坐标为（－1,0），故|＋＋|max＝7.故选B.
求向量模及最值（范围）的方法
1．代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；
见典例答案解法一．
2．几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；
见典例答案解法二．
3．利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±
b|≤|a|＋|b|求模的取值范围．见典例答案解法二．
已知向量a，b，c，满足|a|＝2，|b|＝a·
b＝3，若（c－2a）·
＝0，则|b－c|的最小值是（ ）
A．2－B．2＋C．1D．2
解析 根据条件，设a＝（1,），b＝（3,0），设c＝（x，y），则（c－2a）·
＝（x－2，y－2）·
（x－2，y）＝0；
∴（x－2）2＋（y－）2＝3；
∴c的终点在以（2，）为圆心，为半径的圆上，如图所示：
∴|b－c|的最小值为
－＝2－.
故选A.
角度4 求参数的取值
在△ABC中，已知＝（2,3），＝（1，k），且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________．
本题采用方程思想，并依据直角的位置可分三种情形讨论．
答案 －或或
解析 ①若∠A＝90°
，则有·
＝0，即2＋3k＝0，解得k＝－.
②若∠B＝90°
＝0，因为＝－＝（－1，k－3），所以－2＋3（k－3）＝0，解得k＝.
③若∠C＝90°
＝0，即－1＋k（k－3）＝0，解得k＝.
综上所述，得k＝－或或.
平面向量中的参数及范围的求法
1．利用方程思想，由已知列出方程或方程组，进而求解．如典例．
2．利用等价转化思想将已知转化为不等式或函数，求出参数的取值．如冲关针对训练．
设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得<
0，
即（2te1＋7e2）·
（e1＋te2）<
化简即得2t2＋15t＋7<
0，解得－7<
t<
－.
当夹角为π时，也有（2te1
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