201x201X学年高中数学第二章圆锥曲线与方程23双曲线232双曲线的简单几何性质优化练习Word文件下载.docx
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x.
答案：
C
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（ ）
A．2B．2C．4D．4
将双曲线2x2－y2＝8化成标准方程－＝1，则a2＝4，
所以实轴长2a＝4.
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（ ）
A．－B．－4C．4D.
∵方程mx2＋y2＝1表示双曲线，
∴m<
0.将方程化为标准方程为y2－＝1.
则a2＝1，b2＝－.
∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，
∴可知b＝2a，
∴b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.
A
4．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是（ ）
A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4
令y＝0，则x＝－4，即c＝4，
又c2＝a2＋b2，a＝b，∴c2＝2a2，a2＝8.
5．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°
，则E的离心率为（ ）
A.B．2
C.D.
不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°
－120°
＝60°
，
∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.故选D.
D
6．已知双曲线－y2＝1（a＞0）的一条渐近线为x＋y＝0，
则a＝________.
双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±
，已知一条渐近线为x＋y＝0，
即y＝－x，因为a＞0，所以＝，所以a＝.
7．过双曲线－＝1（a>
0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
由题意知，a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2，
∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1（舍去）．
2
8．已知双曲线C：
－＝1（a>
0）的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．
双曲线中，顶点与较近焦点距离为c－a＝1，又e＝＝2，
两式联立得a＝1，
c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
∴方程为x2－＝1.
x2－＝1
9．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，求双曲线的渐近线方程及离心率．
由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，
所以椭圆的右焦点坐标为（，0），
双曲线的右焦点坐标为（，0），
所以3m2－5n2＝2m2＋3n2，所以m2＝8n2，
即|m|＝2|n|，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±
x，y＝±
离心率e＝＝，e＝.
10．设A，B分别为双曲线－＝1（a>
0）的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
（1）由题意知a＝2，
∴一条渐近线为y＝x，
即bx－2y＝0，∴＝，
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
∴∴
∴t＝4，点D的坐标为（4，3）．
[B组 能力提升]
1．（2016·
高考全国Ⅰ卷）已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（－1,3）B．（－1，）
C．（0,3）D．（0，）
根据双曲线的焦距，建立关于n的不等式组求解．
若双曲线的焦点在x轴上，则
又∵（m2＋n）＋（3m2－n）＝4，
∴m2＝1，∴
∴－1<
n<
3.
若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为
－＝1，即
即n>
3m2且n<
－m2，此时n不存在．故选A.
2．已知F1，F2分别是双曲线－＝1（a>
0）的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A．（1,1＋）B．（1＋，＋∞）
C．（1－，1＋）D．（，＋1）
由△ABF2为锐角三角形得，
<
tan＝1，即b2<
2ac，∴c2－a2<
2ac，
∴e2－2e－1<
0，解得1－<
e<
1＋，
又e>
1，∴1<
1＋.
3．已知F是双曲线C：
x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F（3,0），F1（－3,0）．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝＝15为定值，所以当（|AP|＋|PF1|）最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处（如图所示）．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8（舍去），
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×
6×
6－×
2＝12.
12
4．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2,0），且双曲线的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________．
由双曲线的渐近线y＝±
x与圆（x－2）2＋y2＝3相切
可知解得
故所求双曲线的方程为x2－＝1.
5．已知双曲线C：
0）的离心率为，且＝.
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
（1）由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2.
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0）．
由
得x2－2mx－m2－2＝0（判别式Δ>
0）．
所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m.
因为点M（x0，y0）在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋（2m）2＝5.故m＝±
1.
6．已知双曲线C：
0）的一个焦点是F2（2,0），离心率e＝2.
（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
（1）由已知得c＝2，e＝2，
∴a＝1，b＝.
∴所求的双曲线方程为x2－＝1.
（2）设直线l的方程为y＝x＋m，
点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组
将①式代入②式，
整理得2x2－2mx－m2－3＝0.（*）
设MN的中点为（x0，y0），
则x0＝＝，
y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为y－＝－
即x＋y－2m＝0，
与坐标轴的交点分别为（0,2m），（2m,0），
可得|2m|·
|2m|＝4，
得m2＝2，m＝±
此时（*）的判别式Δ>
0，
故直线l的方程为y＝x±
.
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