天津市和平区届高三二模数学理试题+Word版含答案.docx
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天津市和平区届高三二模数学理试题+Word版含答案
天津市和平区2018届高三二模试题
数学（理科）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：
本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集
，则集合
等于（）
A．
B．
C.
D．
2.设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为（）
A．1B．2C.3D．4
3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输出的
，则判断框内可填入（）
A．
B．
C.
D．
4.设
，则“
”是“
”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知抛物线
的准线与双曲线
的左、右支分别交于
两点，
为双曲线的右顶点，
为坐标原点，若
，则双曲线的渐近线方程为（）
A．
B．
C.
D．
6.已知
是定义在
上的函数，它的图象上任意一点
处的切线方程为
，那么函数
的单调递减区间为（）
A．
B．
C.
D．
7.如图，在平行四边形
中，已知
，
为线段
上的-点，且
，则
的值为（）
A．
B．
C.
D．
8.已知定义在
上的奇函数
，当
时，
则关于
的方程
的实根的个数为（）
A．6B．7C.8D．9
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.设
是虚数单位，则复数
的虚部为．
10.在
中，
，
的面积
，则
边长为．
11.在极坐标系中，直线
，
为圆
上的任意一点，设点
到直线
的距离为
，则
的最大值为．
12.如图，已知正四面体
的梭长为6，则它的内切球的体积为．
13.已知
，则
的最小值为．
14.从0,1,2,3,4，5,6,7这八个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数,则可组成的四位数中奇数的个数为（用数字作答）.
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数
.
（1）求函数
的最小正周期及单调递减区间；
（2）将函数
的图象向左平移
个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，若
，且
，求
的值.
16.甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为
.甲若第一次成绩不低于130分,则第二次成绩不低于130分的概率为
，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为
；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于]30分的概率为
，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为
；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为
.
（1）设
为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，
为事件“乙的英语高最终成绩不低于130分”，
为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件
、事件
、事件
发生的概率；
（2）设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为
，求
的分布列与数学期望.
17.如图，在四棱柱
中，底面
是等腰梯形，
，
为
的中点，
平面
，且
.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
所成角的正弦值；
（3）若
为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
18.已知数列
满足条件
，且
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
为数列
的前
项和，求证：
.
19.已知椭圆
的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为
，过椭圆的右焦点的动直线
与椭圆交于
两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段
的垂直平分线与
轴相交于点
，与直线
交于
，当
时，求直线
的斜率的取值范围；
（3）在椭圆上是否存在定点
，使得对任意斜率等于
且与椭圆交于
两点的直线（
两点均不在
轴上），都满足
（其中
为直线
的斜率，
为直线
的斜率）？
若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
20.已知函数
，其中
且
.
（1）求
的单调区间；
（2）若
恒成立，求
的取值范围；
（3）若存在
，使得
，求证：
.
试卷答案
一、选择题
1-5:
BABCD6-8:
CBD
二、填空题
9.
10.511.
12.
13.
14.7
三、解答题
15.解：
∵
，且
，
∴
.
∴
.
（2）解：
在
中，由正弦定理，得
，即
.
∴
.
在
中，
，由余弦定理，得
.
∴
.
的面积
.
16.依题意，10件产品中有7件优质品，3件非优质品.
设抽取的3件产品均为优质品的概率为
，
则
.
（2）解：
随机变量
的所有可能取值为0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，随机变量
的分布列为
数学期望
.
17.
（1）证明：
取
的中点
连接
则
平面
.如图，以
为原点，分别以
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得：
.
∵
∴
，即
.
∵
，
∴
平面
.
（2）解：
由
（1）可知平面
的一个法向量
，
设直线
与平面
所成角为
，
∵
，
∴
.
（3）解:
设平面
的法向量为
，
∵
，
∴
即
令
，则
，即
.
由
（1）可知平面
的一个法向量
，
设二面角
的平面角为
，易知
，
∴
.
18.解：
在
中，
当
时，
，即
解得
或
（舍去）.
当
时，
①
②
由①-②可得
，
即
.
∵
，
∴所以
.
∴
是首项为3，公差为2的等差数列.
故
.
设数列
的首项为
，公差为
，
依题意
解得
∴
.
（2）由
（1）可知
，
则
.
∴
.
19.解：
（1）∵
，
∴
.
由
，得
.
故
，
.
若
，则
，
若
，则
.
∴
在
上单调递增，在
上单调递减.
∴
的最大值为
.
（2）解：
假设存在实数
使
有最大值
，
.
①
时，
在
上单调递増，
，
（舍去）.
所以，此时
无最大值.
②当
时，
在
上单调递増，在
上单调递减，
，则
，满足条件.
综上所述，存在实数
，使得当
时，
有最大值
.
（3）证明：
∵
的极大值为
，即
在
上最大值为
.
∴
.
由
，得
，
∵当
时，
，
∴
在区间
上单调递增.
∴
.
∵
，
∴在
（1）的条件下，
.
20.
（1）解：
设半焦距为
，由题意，
可得
，
则
，即
.
由点到直线的距离公式得
，
故
.
∴椭圆
的方程为
.
（2）证明：
由题意可知直线
的斜率存在，
设直线
的方程为
.
由
得
.
直线
的方程为
.
设直线
与
轴的交点为
，
令
，得
.
将
代入上式并整理，得
.
将
代入上式，得
所以直线
恒过
轴上的定点
.
（3）解：
由
（2）可知
，依题意，椭圆
的左焦点为
，
则
.
∴
的面积
.
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