函数的单侧导数与导函数的左右极限Word文件下载.docx

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文中引用了相关的参考文献，其中文献[1]、[2]介绍了单侧导数与导函数的单侧极限的定义，[3]-[6]介绍了两者的区别与联系及相等的充分条件，[7]-[10]介绍了分段函数的导数、函数在端点处的导数的求解方法，并举例运用了此方法。

1.单侧导数与导函数的单侧极限的定义

定义1

：

由于

，由极限存在的定义，函数

在

处可导的充分必要条件是相应的左右极限

和

存在且相等，我们把他们分别称为

处的左导数和右导数。

定义2

符号

表示函数

在点

处导函数的右（左）极限，即

.

2.单侧导数与导函数的单侧极限的区别

函数的单侧导数与导函数的单侧极限是两个完全不同的概念，微积分的初学者往往认为

因此在求分段函数在分段点处的导数、傅里叶级数或函数在区间端点处的导数时往往不能得到正确的结果，在一般的情况下，两者并没有必然的联系（方便起见下面以函数的右导数与导函数的右极限为代表说明）。

我们知道，如果函数

处可导，则

处的右导数

肯定存在。

这一点是毫无疑问的，而函数

处的导函数的右极限

存在，则说明函数

处的某右邻域（

）内的每一点都可导，但需要注意的是函数

处却未必可导。

这一个小小的细节往往被一些学生甚至资历较高的老师所忽视。

我们先看一个例题。

例1设函数

，判断

是否可导。

错误解法：

当

时，

当

即

故

正确：

但是

不存在

故

不存在，即

处不可导。

从这个例题中可以看出，

与

并没有必然的联系。

为了更深入的探讨两者之间的关系，我们来看几个具体的例子，从这些例题中摸索其中的内涵。

例2设函数

求

解：

而

不存在，

例3设函数

因此

例4设函数

又

所以

，但

例5设函数

同理

，故

处可导。

，且

由上面5个例子，我们很容易发现，函数的右导数与函数的导函数的右极限没有必然的联系，即

可能一个存在，另一个不存在，如上面的例2和例3;

也可能两者都存在但不相等，如例4;

也可能两者都存在且相等如例5.

3．单侧导数与导函数的单侧极限的联系

对于例5中这样的题目，有些读者不加验证误把

认为相等的计算方法也能奏效，但前提是函数必须满足一些特定的条件。

下面我们来看一个重要的定理，这个定理和其证明过程表现了单侧导数与导函数的单侧极限的联系，即求单侧导数的‘‘导数极限法’’。

定理1

:

设函数

的某邻域

内连续，在

内可导，且极限

存在，则

处可导，且

证明：

分别按左右导数来证明上式。

（1）

上满足拉格朗日定理的条件，

则

（*）

由于

故当

对上式两边同时取极限，得

（2）同理可得

存在，故

‘因此

即

存在，且

本定理阐明了函数在某点的导数与其导函数在该点处的极限的关系，对于一般的函数而言，若在某点处极限存在时，并不能保证它在该点是连续的，而导函数则具有这个特点，即只要导函数的极限存在，那么其导函数就一定是连续的。

在此定理的证明过程中，需要我们特别注意的是，当

不存在时，并不能由此判定

不存在，因为当

不存在时，

有可能存在，这是因为，对于某些特殊的函数而言，（*）式中的

可能有一个，也可能有很多个，当

连续的变化而从右侧逼近

时，对应的

并不一定能够连续的变化，例如

可能构成一个以

为极限的数列

，并且其对应的导数值数列

可能会有极限，而

。

所以

可能存在。

例中如例2中的函数就是符合上述情况的一个例子，对于其中具体的细节这里就不讨论了。

大家很容易发现，当用罗比达法则求一些函数的极限时有时会失效，其中的原因就与上述所讨论的情况类似。

我们知道在罗比达法则的证明过程有等式

（

之间）故

同理当

有可能存在，所以

可能存在，但我们需要用别的方法求解了

定理1说明了函数的导数与函数的导函数的极限的联系，若函数的导函数在一点

处存在极限，则该函数的导函数在点

处必连续。

在此定理的证明过程中我们得到了函数的单侧导数与导函数的单侧极限相等的结论，并成功的运用了此结论，对于例5中的函数，此结论也成立，那么，函数的单侧导数与函数的导函数的左右极限到底有什么样的联系，在什么样的情况下可以相等呢?

4．函数的单侧导数与函数的导函数的左右极限相等的充分条件

定理2

若函数

在闭区间

上连续，在开区间

（

）内可导，且

，则函数

处右（左）可导，且

）。

证明同定理1类似。

需要注意的是定理2的条件是充分的，不是必要的。

如例3中的函数

由于

而

但

所以定理2的条件是充分的，不是必要的。

推论

设函数

上连续，在

内存在有限的导数

，若其导函数

点存在右极限（有限），即

为有限数）记为

，则

点存在右导数

，对于

点左侧有类似的结论。

分段函数在分段点处的导数、函数在区间端点处的导数我们一般都是用导数的定义去求，但这种方法计算繁杂，容易出错，如果所给的函数满足定理2及其推论的条件，我们利用导数的极限法去求解题目就简单的多了。

下面我们来看几个例子。

例6设函数

在

处可导，求

、

的值。

由

处可导，故

处连续

即有

又因

处可导

，即

，解出

例7

（1）设函数

，

，求

函数

上连续，

内可导

上连续。

由定理2，得到

（2）求分段函数

的导数。

首先易得

进一步考虑

处的导数，在此之前，我们只能用导数的定义来处理，现在则可以利用导数极限定理。

处连续，又因为

，依据导数极限定理推知

由上面两个例题可以看出，在求分段函数的导数，区间端点处的导数用定理1，定理2及其推论是非常有效的。

为我们考察函数在某点的可导性提供了一种新的方法，而且比原来的仅依据导数定义去判断的方法更简便。

从而为高等数学的教与学提供了一个极为新颖而有效的方法。

参考文献

[1]陈纪修,於崇华,金路.数学分析（上）[M].北京：

高等教育出版社，1999.127-128.

[2]赵德让.单侧导数与导数的单侧极限[J].青海师范大学学报，2002,2

（2）:

15-16.

[3]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].北京：

高等教育出版社,2001.122-123.

[4]催广衡，沈缨.导数的极限与单侧导数[J].江南大学学报，1994,8（3）:

22-23.

[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：

高等教育出版社,1988.239-241.

[6]邓书显，于红霞.导函数连续性定理及其推论[J].河南纺织高等专科学校学报，2001,9

（2）:

39.

[7]钱吉林.数学分析题解精粹[M].湖北长江出版集团，2009.161-162.

[8]华苏,莫骄.《微积分》学习指导书[M].北京：

科学出版社,2003.40.

[9]黄立宏,戴斌祥.一元分析基础[M].科学出版社,1998.92-100.

[10]王金金，任春丽.函数的右导数与导函数的右极限的关系[J].高等数学研究，2008，12（5）：

15-16.